Matriu hessiana

En matemàtica, la matriu hessiana d'un camp escalar $f : ℝ^{n} ⟶ ℝ$ és la matriu quadrada de tamany $n \times n$ que té com a entrades les derivades parcials de segon orde.

Esta matriu deu el seu nom al matemàtic alemà Ludwig Otto Hesse i va ser introduïda per James Joseph Sylvester.

Definició

Ademés, es té que si $f : Ω ⟶ ℝ$ en $Ω \subseteq ℝ^{n}$ un conjunt obert i $f \in 𝒞^{2} (Ω)$ , llavors la matriu hessiana està ben definida, i en virtut del teorema de Clairaut (o teorema de Schwarz), és una matriu simètrica.

Aplicacions

Concavidad/Convexidad

Siga $Ω \subseteq ℝ^{n}$ un conjunt obert i $f : Ω ⟶ ℝ$ una funció de classe $f \in 𝒞^{2} (Ω)$ :

$f$ és convexa si i solament si $\forall x \in Ω$ , la matriu hessiana $Hess f (x)$ és semidefinida positiva.
Si ∀x∈Ω la matriu hessiana Hessf(x) és positiva-definida, llavors f és estrictament convexa.
- Si $f$ és una funció convexa, llavors qualsevol punt en que totes les derivades parcials són zero, és un mínim local.
$f$ és cóncava si i solament si $\forall x \in Ω$ , la matriu hessiana $Hess f (x)$ és semidefinida negativa.
Si ∀x∈Ω la matriu hessiana Hessf(x) és negativa-definida, llavors f és estrictament cóncava.
- Si $f$ és una funció cóncava, llavors qualsevol punt en que totes les derivades parcials són zero, és un màxim local.

Método per a determinar el caràcter dels punts crítics

Es vorà a continuació cóm trobar els punts crítics (màxims, mínims i punts d'inflexió -o cadira o de ensilladura) d'una funció $f$ de múltiples variables.

S'igualen les derivades parcials primeres a zero.
Es resolen les equacions anteriors i s'obtenen les coordenades dels punts crítics.
Es construïx la matriu hessiana (derivades segones parcials).
Se substituïxen els punts crítics en la matriu hessiana per a obtindre tantes matrius com a punts crítics tingam.
Depenent del tipo de matriu resultant d'evaluar la matriu Hessiana en els diferents punts crítics, estos punts es poden evaluar per mig del criteri de Sylvester:

Si tots els menors principals són majors que 0, o siga, |H_i|>0 per a $i = 1, 2, \dots, n$ $f$ alcança el mínim relatiu en el punt.
Si els menors principals d'índex parell són majors que 0 i els de índex impar són menors que 0, o siga, |H_impar|<0 i |H_parell|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcança el màxim relatiu en el punt.
Si els menors principals són distints de 0, és dir, |H_i|≠0 ∀i=1,...,n i no és cap dels casos anteriors, és un punt de cadira.

Quan algun |H_i|=0, no es pot determinar res, per lo que es deu fer un estudi particular. Per a n=2 el criteri es millora en el sentit de que si |H₁|=0 i |H₂|<0

f

té un punt de cadira en el punt.

De forma anàloga podem evaluar els extrems relatius d'un camp escalar $f : ℝ^{n} \to ℝ$ estudiant els autovalores de la seua matriu hessiana.

Teorema 9.6 (CALCULUS volum 2. Tom M.Apostol): "Siga $f$ un camp escalar en derivades parcials segones contínues D_ijf en una $n$ -bola B(a), i designem en $H (𝐚)$ la matriu hessiana en el punt estacionario a. Tenim llavors:

Si tots els autovalores de $H (𝐚)$ són positius, $f$ té un mínim relatiu en a.
Si tots els autovalores de $H (𝐚)$ són negatius, $f$ té un màxim relatiu en a.

Si $H (𝐚)$ té autovalores positius i negatius, $f$ té un punt de ensilladura en a."

El cas particular en el que la funció a evaluar grafica una superfície en $ℝ^{3}$ , $z = f (x, y)$ i té segones derivades contínues, es poden estudiar els punts crítics evaluant la matriu hessiana en ells i després utilisant el criteri de determinació d'extrems. Si $(a, b)$ és un punt crític de $f$ , ( $f_{x} (a, b) = 0$ i $f_{y} (a, b) = 0$ ) llavors:

- Si el determinant de la matriu hessiana evaluat en el punt $(a, b)$ és major que 0, |H|>0, i $f_{x x} (a, b) < 0$ , diem que $f$ alcança un màxim relatiu en $(a, b)$ .

- Si el determinant de la matriu hessiana evaluat en el punt $(a, b)$ és major que 0, |H|>0, i $f_{x x} (a, b) > 0$ , diem que $f$ alcança un mínim relatiu en $(a, b)$ .

- Si el determinant de la matriu hessiana evaluat en el punt $(a, b)$ és menor que 0, |H|<0, diem que $f (a, b)$ és un Punt de cadira.

- Si el determinant de la matriu hessiana evaluat en el punt $(a, b)$ és igual a 0, |H|=0, el criteri no conclou resultat algun.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz hessiana» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.