Teorema de Clairaut

En matemàtiques i, més concretament en càlcul diferencial, la teorema de Clairaut, també conegut com a teorema de Schwarz o teorema de l'igualtat de les derivades creuades, és una condició suficient de l'igualtat de les derivades parcials creuades d'una funció de vàries variables. El teorema establix que si les derivades parcials creuades existixen i són contínues, llavors són iguals.

Teorema

Case general

Siga $f:A\to ℝ$ en $A\subseteq {ℝ}^n$ un conjunt obert tal que existixen les seues derivades creuades de qualsevol orde i són contínues en $A$, llavors per a qualsevol punt $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in A$ es complix que

$\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x_i\mathrm{...}\partial x_j}(a_1,\dots ,a_n)=\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x_j\mathrm{...}\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n).$

En dos variables

Siga $f:\Omega \to ℝ$ una funció de dos variables definida en un conjunt obert $\Omega \subseteq {ℝ}^2$, si existixen les segones derivades creuades i són contínues en $\Omega$, açò és, $f\in {𝒞}^2(\Omega )$ llavors estes són iguals, és dir:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$.

Demostració

Siga

$p=(x_0,y_0)\in \Omega$.

I siguen $\epsilon$ , $\delta >0$ reals tals que $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\times (y_0-\delta ,y_0+\delta )\subset \Omega$. La qual cosa és possible, ya que $\Omega$ és un obert de ${ℝ}^2$.

Es definixen dos funcions $F$ i $G$

$F:(-\epsilon ,\epsilon )\subset ℝ⟶ℝ$,

$G:(-\delta ,\delta )\subset ℝ⟶ℝ$,

de modo que:

$F(t)=f(x_0+t,y_0+s)-f(x_0+t,y_0)\mathrm{\forall }t\in (-\epsilon ,\epsilon )$.

$G(s)=f(x_0+t,y_0+s)-f(x_0,y_0+s)\mathrm{\forall }s\in (-\delta ,\delta )$,

Aplicant dos voltes el teorema de Lagrange:

$F(t)-F(0)=(t-0)F^{\prime }({\xi }_1)=t[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0+s)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0)]=$

$=ts\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0+{\sigma }_1)$,

i análogamente:

$G(s)-G(0)=st\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0+{\xi }_2,y_0+{\sigma }_2)$,

en ${\xi }_i\in (0,t)$ , ${\sigma }_i\in (0,s)$, per comoditat d'escritura pero sense perdre generalitat, se suponen $t,s>0$.

Després fent tendir $t$ i $s$ a $0$ es conseguix la demostració.

Vore també

• Matriu hessiana
• Derivada parcial