Teorema del valor mig

Teorema del valor mig

En matemàtiques, la teorema de valor mig (de Lagrange), teorema dels increments finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoria del punt mig és una propietat de les funcions derivables en un interval. Alguns matemàtics consideren que este teorema és el més important del càlcul (vore també el teorema fonamental del càlcul integral). La teorema de valor mig pot usar-se per a demostrar el teorema de Taylor i el teorema de Rolle, ya que abdós són un cas especial.

De manera precisa la teorema enuncia que si $f$ és una funció contínua en un interval tancat $[a,b]$ i diferenciable en l'interval obert $(a,b)$ llavors existix un punt $c$ en $(a,b)$ tal que la recta tangente en el punt $c$ és paralela a la recta secante que passa pels punts $(a,f(a))$ i $(b,f(b))$, açò és $$\mathrm{\exists }c\in (a,b)|f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Història

Un cas especial d'esta teorema va ser descrit per primera volta per Paramésuara (1370–1460), de l'escola de Kerala d'astronomia i matemàtiques en l'Índia, en els seus comentaris sobre Govindasvāel meu i Bhaskara II. Una forma restringida de la teorema va ser demostrada per Michel Rolle en 1691; el resultat va ser lo que ara es coneix com teorema de Rolle, i es va demostrar només per a polinomis, sense les tècniques de càlcul. La teorema del valor mig en la seua forma moderna va ser declarat i provat per Cauchy en 1823.

Teorema

Per a una funció que complixca la hipòtesis de ser definida i contínua en $[a,b]$ i derivable en l'interval obert $(a,b)$ llavors existix a lo manco algun punt c en l'interval $(a,b)$ en que la pendent de la curva és igual que la pendent mija de la curva en l'interval tancat $[a,b]$.

Siga $f:[a,b]\to ℝ$ una funció contínua en l'interval tancat $[a,b]$ i diferenciable en l'interval obert $(a,b)$ en $a<b$ llavors existix a lo manco algun punt $c\in (a,b)$ tal que

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

La teorema del valor mig és una generalisació del teorema de Rolle, les hipòtesis són que si una funció $f:[a,b]\to ℝ$ és contínua en $[a,b]$ i diferenciable en $(a,b)$ i pren valors iguals en els extrems de l'interval, açò és, $f(a)=f(b)$ llavors existix a lo manco algun punt $c\in (a,b)$ tal que $f^{\prime }(c)=0$, açò és, el costat dret de l'expressió anterior és zero.

Vore també

• Teorema de Rolle
• Teorema del valor mig de Cauchy

Referències

• Bombal, Marin & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.