Teorema de Rolle

En càlcul diferencial, la teorema de Rolle demostra l'existència d'un punt interior en un interval obert para el qual la derivada d'una funció derivable s'anula quan el valor que està en els extrems de l'interval és el mateix. És generalisat per mig del teorema del valor mig, del que este és un cas especial. És un de les principals teoremes en càlcul per les seues aplicacions.

Va ser establit en 1691 pel matemàtic francés Michel Rolle (1652-1719).

Teorema

Si $f:[a,b]\to ℝ$ és una funció contínua en un interval tancat $[a,b]$, derivable en l'interval obert $(a,b)$ i $f(a)=f(b)$, llavors existix a lo manco un punt $c\in (a,b)$ tal que: $$f^{\prime }(c)=0$$

Demostració

Se sap que existixen tres possibilitats, o be la funció que considerem és constant, o be té algun punt x a on el valor de la funció és major o be este valor és menor que en els extrems. Per al primer cas és trivial que en algun punt la funció té derivada nula (en la definició de derivada el cocient incremental és zero).

• Gràcies a la continuïtat de $f$ l'image de $[a,b]$ és un conjunt conexo de $ℝ$ i per lo tant és un interval, l'interval image.
• L'image per una funció contínua d'un conjunt compacte és un conjunt compacte, i per lo tant l'interval image és tancat i de llongitut finita: és de la forma [m, M], en $m$ el valor mínim de $f$ i $M$ el seu valor màxim.
• Si $m=M$, la funció és constant i qualsevol punt $c\in (a,b)$ convé. Descartat este cas, $m\ne M$ significa que un dels dos no és igual a $f(a)=f(b)$. Supongam que siga $M$. Llavors $M>f(a)=f(b)$ i per lo tant el màxim $M$ s'alcança en l'interior de l'interval.
• Siga $c\in [a,b]$ tal que $f(c)=M$. Per definició del màxim, M = f(c) ≥ f(x) para tot x de [a, b]. Llavors el cocient (f(c) - f(x)) / (c - x) és positiu quan x < c (perque el seu numerador és sempre positiu i el seu denominador és positiu no nul), i és negatiu quan x > c (el denominador es torna negatiu no nul). Pero f'(c) és per definició el llímit d'este cocient quan x tendix cap a c. El llímit per l'esquerra, f '(c^-), té qui ser igual al llímit per la dreta, f '(c⁺). Per lo tanto este llímit comú és nul, o siga $f^{\prime }(c)=0$.

La demostración és molt similar si és el mínim el que s'alcança en $(a,b)$.

Gràficament

En el següent gràfic s'observen les tres condicions: la funció és contínua en l'interval tancat $[a,b]$, és diferenciable en $(a,b)$ i els valors que pren la funció en els punts $a$ i $b$ són iguals, és dir, $f(a)=f(b)$. Existix a lo manco un punt $c\in (a,b)$ en el qual la derivada de la funció és igual a zero, açò és, $f^{\prime }(c)=0$. Val observar que $c$ és distint de $a$ i de $b$. No devem confondre c en f(c), que sí pot ser igual a f(a) i f(b).

Teorema de Rolle (1)

En l'ilustració es veu una funció constant, pero la teorema no solament es complix en este cas. Es poden donar tres casos en els que f(c) és distint de f(a) i f(b), a saber:

Cas 1

El punt màxim és igual a $f(a)$ i $f(b)$ i el punt mínim és distint d'abdós, la qual cosa implica que la curva és convexa. El punt mínim és $m=f(c)$ i la derivada de la funció en este punt és 0.

Ilustració de la Teorema de Rolle (cas 1), a on el punt mínim és distint de f(a) i el punt màxim és igual a f(a).

Cas 2

El punt mínim és igual a $f(a)$ i $f(b)$ i el punt màxim és distint d'abdós, la qual cosa implica que la curva és cóncava. El punt màxim és $M=f(c)$ i la derivada de la funció en este punt és 0.

Ilustració de la Teorema de Rolle (cas 2), a on el punt mínim és igual f(a) i el punt màxim és distint de f(a).

Cas 3

Tant el punt mínim com el punt màxim són distints a $f(a)$ i $f(b)$. Açò significa que dins de l'interval tancat $[a,b]$ la funció alcança un punt màxim M = f(c₂) major al valor de la funció en els extrems a i b i un punt mínim m = f(c₁) menor als mateixos. Tant en el punt màxim com en el punt mínim, la derivada de la funció és nula. És dir, f '(c₁) = 0 i f '(c₂) = 0.

Ilustració de la Teorema de Rolle (cas 3), a on el punt mínim és distint de f(a) i el punt màxim també és distint a f(a).

Vore també

• Teorema del valor mig
• Teorema del valor intermig