Teorema del valor intermig

Archiu:Illustration for the intermediate value theorem.svg

Teorema del valor intermig

Archiu:Intermediatevaluetheorem.png

Teorema dels valors intermijos.

En anàlisis matemàtic la teorema del valor intermig (o més correctament teorema dels valors intermijos, o TVI), és una teorema sobre funcions contínues reals definides sobre un interval. Intuitivamente, el resultat afirma que, si una funció és contínua en un interval, llavors pren tots els valors intermijos compresos entre els extrems de l'interval.

Teorema

Siga $f:[a,b]\to ℝ$ una funció contínua en $[a,b]$. Llavors, per a tot $u\in (f(a),f(b))$ es té que existix $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=u$.

Conseqüències

• Com a conseqüència del teorema de Weierstrass, es pot generalisar dient que l'image d'un interval és un atre interval.
  • Si $X$ i $Y$ són espais topològics, $f:X\to Y$ és contínua i $X$ és conexo, llavors $f(X)$ és conexo.
  • Un subconjunt de $ℝ$ és conexo si i solament si és un interval.
• Teorema de Bolzano: cas particular $u=0$.

Demostració

La teorema del valor intermig forma part de les cridades “teoremes d'existència”. A la pregunta: “¿Existix un número $c$ tal que $f(c)=u$?”, la teorema respon afirmativamente: Sí existix. S'impon llavors la pregunta: «¿Quin és eixe número real?». Vàries demostracions són possibles, depenent de les premisses inicials. La prova següent utilisa la noció del suprem.

Sean $f(a)<u<f(b)$, $X$ un subconjunt de l'interval $[a,b]$ constituït pels valors $x\in ℝ$ tals que $f(x)\le u$.

Este conjunt és no buit (conté a $a$) i acotat superiormente (per $b$). Siga $c$ el suprem (la menor de les cotes superiors); es vol provar que $f(c)=u$. Com $c$ és un llímit d'elements de $X$, es té (per passage al llímit en les desigualtats) $f(c)\le u$. Queda per provar que $f(c)\ge u$

• Si $c=b$, és cert per hipòtesis.
• Si pel contrari l'interval $[c,b]$ és no buit, com els seus elements $x$ verifiquen tots $f(x)>u$, s'obté (novament per passage al llímit) $f(c)\ge u$.

Teorema de Bolzano

És freqüent (en alguns cursos de càlcul) demostrar independentment la Teorema de Bolzano i despuix servir-se d'ell per a enunciar la teorema del valor intermig com un corolari.

Teorema

Siga $f:[a,b]\to ℝ$ una funció real contínua en $[a,b]$ en $f(a)<0<f(b)$ llavors existix a lo manco un punt $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$.

La teorema com tal no especifica el número de punts, solament afirma que a lo manco existix un.

Demostració en la topología

És possible demostrar la propietat en algunes llínees solament, evocant nocions de la topología matemàtica. Despuix d'esta aparent simplicitat es troben resultats que cal demostrar prèviament, com el fet de que tot interval de R és conexo, demostracions que són del mateix grau de dificultat que la de el TVI.

Els conjunts conexos de R són els intervals. És el conjunt de partida. L'image directa d'un conexo per una funció contínua és un conexo. D'ací es infiere que l'image per $f$ de $[a,b]$ és un interval, la qual cosa demostra la teorema.

Vore també

• Teorema del valor mig
• Teorema de Rolle
• Teorema del punt fix de Brouwer

Bibliografia

• Bombal, Marin & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.
• Clarke, Douglas A. (1971). Foundations of Analysis, Appleton-Century-Crofts, pp. 284.