Quantificador existencial

Quantificador existencial

En el llenguage de predicats en llògica matemàtica, s'usa el símbol: $\mathrm{\exists }$, cridat quantificador existencial, antepost a una variable per a dir que "existix a lo manco" un element del conjunt, $B$, al que fa referència la variable, que complix la proposició escrita a continuació.

$\mathrm{\exists }x\in B$

Existix x que pertany a B.

Eixemple

Si tenim dos conjunts diferents $A$ i $B$, i $A$ és un subconjunt de $B$:

$A\subset B\wedge A\ne B\wedge A\ne \varnothing$

existix a lo manco un element $x$ de $B$ que pertany a $A$:

$\mathrm{\exists }x\in B\wedge x\in A$

En afirmar que existix a lo manco un $x$ que pertany a $B$ i pertany a $A$, vol dir que no tots els elements de $B$ pertanyen a $A$, en ser $A$ i $B$ conjunts distints, existix a lo manco un element $y$ de $B$ que no pertany a $A$:

$\mathrm{\exists }y\in B\wedge y\notin A$

Que podem llegir: existix a lo manco un element $y$ en $B$, i este element $y$ no pertany a $A$.

Quantificador d'existència única

Com relata John F. Sowa (p. 475), a partir de la distinció que Bertrand Russell i Alfred North Whitehead varen fer en els Principia Mathematica en dos operadors, I! «indicant exactament un» i I!! indicant «únic», Stephen Kleene, va definir el quantificador existencial «exactament un» $(\mathrm{\exists }!x)$, explícitament:

$(\mathrm{\exists }!x)P(x){\equiv }_{def}(\mathrm{\exists }x)(P(x)\wedge \mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }y)(P(y)\wedge y\ne x))$.

i el propi Sowa, el quantificador existencial «únic» $(\mathrm{\exists }!!x)$, implícitament:

$(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\exists }!!y)P(x,y){\equiv }_{def}(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\exists }!y)(P(x,y)\wedge \mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }z)(P(x,y)\wedge z\ne y))$.

Cal notar que en la lliteratura està molt estesa la denominació «quantificador d'existència única» per al primer —encara que es manté també sobretot en la lliteratura anglesa la denominació Kleene's exactly-one quantifier (n'hi ha prou en fer una busca en Internet)—, i tot això a pesar de la confusió que açò pot generar, puix no és precisament lo mateix «exactament un» que «únic», com argumenta Sowa. Vejam-ho en un eixemple —adaptat de Sowa (p. 475):

• «Exactament un»: «Tota persona té exactament una mare». (Dos persones distintes poden tindre la mateixa mare, dit d'una atra forma, la correspondència de Persones a Persones que són mares no és inyectiva).

Denotant per $P$ el conjunt de les persones, per $D$ el conjunt de les persones que són mares i per $M(x,y)$ el predicat «$y$ és mare de $x$», o be, «la mare de $x$ és $y$», llavors quedaria formalisat aixina: $(\mathrm{\forall }x\in P)(\mathrm{\exists }!y\in D)M(x,y)$.

Observe's que en este eixemple l'unicitat es referix a la mare, d'ahí que puga llegir-se perfectament com: «Tota persona té una única mare», no obstant no queda explícit que persones distintes puguen ser filles de la mateixa mare.

• «Únic»: «Tota persona té un únic número d'identitat estatal associat (per eixemple, en Espanya, un número de DNI)». (Dos persones distintes no tenen el mateix número, en atres paraules, la correspondència de Persones a Números és inyectiva).

Denotant per $P$ el conjunt de les persones, per $N$ el conjunt de números i per $I(x,y)$ el predicat «$x$ té el número d'identitat $y$», llavors quedaria formalisat aixina: $(\mathrm{\forall }x\in P)(\mathrm{\exists }!!y\in N)I(x,y)$.

Observe's que en este eixemple l'unicitat es referix a abdós, les persones i els números, quedant explícit que persones distintes no poden tindre números distints.

Si no s'especifica res en contra, en referir-se al quantificador d'existència única s'entén el primer.

Vore també

• Quantificador universal
• Llògica de primer orde
• Metaontología