Teorema de Weierstrass

Archiu:Extrem value theorem.png

Representació gràfica de la teorema

La teorema de Weierstraß és una teorema d'anàlisis real que establix que una funció contínua en un interval tancat i acotat (d'número real) alcança els seus valors màxim i mínim en punts de l'interval.

També es pot enunciar en térmens de conjunts compactes. La teorema establix que una funció contínua transforma intervals compactes en intervals compactes.

Generalisacions de la teorema de Weierstraß

La teorema de Weierstraß es pot generalisar a aplicacions contínues entre espai topològics.

Gràcies al Teorema de Heine-Borel, es pot formular la teorema anterior per a funcions contínues entre un espai topològic i un espai normado:

Siga $(X,𝒯)$ un espai topològic, $K\subseteq X$ un conjunt compacte i $(V,||\cdot ||)$ un espai vectorial normado.

Si $f:K\to V$ és una aplicació contínua, llavors existixen $x_1,x_2\in K$ tals que $||f(x_1)||\le ||f(x)||\le ||f(x_2)||$ per a qualsevol $x\in K$.

En concret, si $V=ℝ$:

Siga $(X,𝒯)$ un espai topològic i $K\subseteq X$ un conjunt compacte.

Si $f:K\to ℝ$ és una funció contínua, llavors existixen $x_1,x_2\in K$ tals que $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$ per a qualsevol $x\in K$.

Vore també

• Teorema de Rolle