Teorema de Heine-Borel

En l'anàlisis matemàtic, la teorema de Heine-Borel (també cridada teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o inclús teorema de Borel-Lebesgue) establix condicions per a que un subconjunt de $ℝ^{m}$ o de $ℂ^{m}$ siga compacte. Quan es referix al cas particular de la recta real rep el nom de Teorema de Heine-Borel. En el restant dels casos, és freqüent cridar-ho Teorema de Borel-Lebesgue.^{cita requerida}

La teorema s'enuncia de la següent manera:

Les distintes formulació de la teorema es deuen el seu nom als matemàtics Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano i Karl Weierstrass.

Història i motivació

L'història de lo que hui es diu teorema de Heine-Borel comença en el XIX, en la busca de sòlits fonaments per al anàlisis real. Central en la teoria era el concepte de la continuïtat uniforme i la teorema que indica que cada funció contínua en un interval tancat és uniformemente contínua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet va ser el primer en demostrar-ho i implícitament va utilisar l'existència d'un subconjunt finit d'un conjunt obert donat d'un interval tancat en la seua prova.^[1] Va utilisar esta prova en les seues conferències de 1852, solament publicades en 1904.^[1] Més tart Eduard Heine, Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle varen utilisar tècniques similars. Émile Borel en 1895 va ser el primer en declarar i demostrar una forma de lo que ara es diu la teorema de Heine-Borel. La seua formulació estava restringida a conjunts contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) i Schoenflies (1900) ho varen generalisar a conjunts arbitraris.^[2]

Demostració

Teoremes preliminars

Els subconjunts tancats de conjunts compactes són compactes.

Siga $F$ un conjunt tancat i $K$ un conjunt compacte tals que $F \subset K \subset ℝ^{m}$ .

Siga ${G_{a}}$ un recobriment obert de $F$ , llavors ${G_{a}} \cup {F^{c}}$ és un recobriment obert de $K$ (podem agregar $F^{c}$ ya que és obert). Com $K$ és compacte llavors ${G_{a}, F^{c}}$ té un subrecubrimiento finit que també cobrix a $K$ . Podem llevar a $F^{c}$ i seguix cobrint a $F$ . Aixina obtenim un subrecubrimiento finit de qualsevol recobriment obert de $F$ .

Si $E \subset K \subset ℝ^{m}$ , a on $E$ és un conjunt infinit i $K$ és compacte, llavors $E$ té un punt d'acumulació en $K$ .

Si $E$ no tinguera punts d'acumulació en $K$ , llavors $\forall a \in K$ , $\exists ε > 0$ tal que $B_{ε} (a) - a$ no conté punts de $E$ a on $B_{ε}$ és una bola oberta de radi $ε$ . És clar que el conjunt d'estes boles formen un recobriment obert de $K$ que per ser compacte admetria un subrecubrimiento finit. Pero açò és impossible perque també seria un subrecubrimiento finit de $E$ , lo que contradiria el fet de que $E$ és infinit.

Tota n-cela tancada $I \subset ℝ^{m}$ és compacta.

Siga $I \subset ℝ^{m}$ una m-cela tancada,

I : = {x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{m}) \in ℝ^{m} : a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}, j = 1, 2, ..., m}

.

Llavors si $x, y \in I$ , es verifica que $| | x - y | | < δ$ , en $δ = (\sum (b_{j} - a_{j})^{2})^{1 / 2}$ .

Siga ${G_{a}}$ un recobriment obert de $I$ i supongam per reducció a l'absurt que $I$ no es pot cobrir en una cantitat finita de $G_{a}$ 's.

Prengam $c_{s} = \frac{a_{s} + b_{s}}{2}$ . Llavors els intervals $[a_{s}, c_{s}], [c_{s}, b_{s}]$ determinen $2^{m}$ m-celes $Q_{i}, i = 1, 2, ..., 2^{m}$ . Llavors per lo manco un $Q_{i}$ no es pot cobrir en una cantitat finita de $G_{a}$ 's. Ho cridarem $I_{1}$ . Reiterant el procés obtenim una successió ${I_{k}}$ tal que:

$I_{1} \supset I_{2} \supset I_{3} \supset ...$ .
$I_{k}$ no es pot cobrir en una cantitat finita de $G_{a}$ 's.
Si $x, y \in I_{k}$ llavors $| | x - y | | < 2^{- k} δ$ .
$\cap_{k} I_{k} \neq \emptyset$

Siga $h \in \cap_{k} I_{k}$ . Com $\cup_{a} G_{a}$ cobrix a $I$ llavors $h \in G_{b} \subset \cup_{a} G_{a}$ . Com $G_{b}$ és obert $\exists B_{ε} (h) \subset G_{b}$ . Si prenem k suficientment gran tal que $2^{- k} δ < ε$ tenim que este $I_{k} \subset B_{ε} (h) \subset G_{b}$ lo que contradiu la suposició de que no es pot cobrir en una cantitat finita de $G_{a}$ 's.

Demostració de la teorema de Heine-Borel

Si complix 1) llavors $K \subset I$ per a alguna n-cela $I$ , i 1) implicaria 2) per les teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es complix 2), llavors es complix 3) per la teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si complix 3), llavors complix 1): Si $K$ no és acotat, llavors conté una successió { $x_{n}$ } tal que $| | x_{n} | | > n$ llavors la successió { $x_{n}$ } és infinita pero no té punts d'acumulació en $ℝ^{m}$ , lo que contradiu 3). Si $K$ no és tancat, llavors existix un element $x_{0} \in ℝ^{m}$ que és un punt d'acumulació de $K$ pero no està en $K$ . Per a $n = 1, 2, ...$ existixen $x_{n} \in K$ tals que $| | x_{n} - x_{0} | | < 1 / n$ , llavors la successió { $x_{n}$ } és un subconjunt infinit de $K$ l'únic punt del qual d'acumulació és el $x_{0} \in ℝ^{m}$ , que no pertany a $K$ , lo que contradiu 3).

Vore també

Conjunt de Borel

Notes

↑ ^1,0 ^1,1 “A Pedagogical History of Compactness” . American Mathematical Monthly 122 (7): 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. Recuperate le 7 de decembre de 2015.
↑ arXiv:{{{arxiv}}}

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Heine-Borel» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Sundström-1] 1,0 ^1,1 “A Pedagogical History of Compactness” . American Mathematical Monthly 122 (7): 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. Recuperate le 7 de decembre de 2015.

[sundstrom_2010-2] rXiv:{{{arxiv}}}

[1]

[2]