Mijana geomètrica

Archiu:Mediana geométrica.png

Suponga's que es vol localisar una fàbrica que treballa en materials procedents de sis almagasens, minimisant la suma de les distàncies de transport resultants. L'ubicació que complix este criteri és la mijana geomètrica i sobre els sis almagasenes x_i.

La mijana geomètrica d'un conjunt discret de punts d'una mostra en un espai euclídeo és el punt que minimisa la suma de les distàncies als punts de la mostra. Açò generalisa el concepte de mijana estadística, que té la propietat de minimisar la suma de distàncies per a senyes unidimensionals, i proporciona una mida de tendència central en dimensions superiors. També es coneix com la 1-mijana, mijana espacial, punt minisum euclidiano, o punt de Torricelli.Plantilla:Sfnp

La mijana geomètrica és un estimador important de localisació en estadística,Plantilla:Sfnp a on aixina mateix li la coneix com el estimador₁. També és un indicador estàndar en la resolució del problema de localisació d'instalacions, a on modela el problema de localisar una instalació per a minimisar el cost del transport.Plantilla:Sfnp

El cas especial del problema per a tres punts en el pla (és dir, m = 3 i n = 2 en la definició que figura a continuació) també es coneix a voltes com el problema de Fermat; sorgix en la construcció d'arbres de Steiner mínims, i es va plantejar originalment com un problema per Pierre de Fermat, i va ser resolt per Evangeliste Torricelli.Plantilla:Sfnp La seua solució ara es coneix com el punt de Fermat del triàngul format pels tres punts de la mostra.Plantilla:Sfnp La mijana geomètrica a la seua volta pot ser generalisada al problema de minimisar la suma de distàncies "ponderades", conegut com el problema de Weber despuix de ser analisat per Alfred Weber sobre el problema introduït en el seu llibre de 1909 sobre l'ubicació d'instalacions. Algunes fonts criden al problema de Weber el problema de Fermat-Weber,Plantilla:Sfnp pero en atres casos s'usa este nom per al problema de la mijana geomètrica no ponderada.Plantilla:Sfnp

Wesolowsky (1993) proporciona un mostreig del problema de la mijana geomètrica. Vore Fekete, Mitchell y Beurer (2005) per a generalisacions del problema a conjunts de punts no discrets.

Definició

Formalment, per a un conjunt donat de m punts $x_1,x_2,\dots ,x_m$ en cada $x_i\in {ℝ}^n$, la mijana geomètrica es definix com

$\underset{y\in {ℝ}^n}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\sum _{i=1}^m{\Vert x_i-y\Vert }_2$

Ací, arg min significa el valor de l'argument $y$ que minimisa la suma. En este cas, és el punt $y$ des d'a on la suma de totes les distàncies euclidianas a $x_i$ és mínima.

Propietats

• Per al cas unidimensional, la mijana geomètrica coincidix en el concepte estadístic de mijana. Açò es deu a que la mijana per a una sola variable també minimisa la suma de les distàncies des dels punts.
• La mijana geomètrica és única sempre que els punts no siguen colineales.

• La mijana geomètrica és equivariante per a lestransformacions de semblança en l'espai euclideo, incloent translacions i rotacions. Açò significa que s'obtindria el mateix resultat, ya siga per mig de la transformació de la mijana geomètrica, o per mig de l'aplicació de la mateixa transformació a les senyes de la mostra i la busca de la mijana geomètrica de les senyes transformades. Esta propietat es desprén del fet de que la mijana geomètrica es definix solament a partir de distàncies entre parells, i no depén del sistema de Coordenades cartesianas ortogonal per mig del qual es representen les senyes de la mostra. Pel contrari, la mijana dels components per a un conjunt de senyes de variables múltiples no és invariante sobre la rotació general, ni és independent de l'elecció de les coordenades.
• La mijana geomètrica té una robustea estadística de 0,5. És dir, fins a la mitat de les senyes de mostra poden estar corruptes arbitrariament, i la mijana de les mostres encara proporcionarà un resultat consistent per a l'ubicació de les senyes no danyades.

Bibliografia

• Cieslik, Dietmar (2006). Shortest Connectivity: An Introduction with Applications in Phylogeny (vol. 17), Springer, p. 3. ISBN 9780387235394.
• (2011) Foundations of Location Analysis (vol. 155séries=International Séries in Operations Research & Management Science), Springer, p. 6. ISBN 9781441975720.
• Haldane, J. B. S. (1948). “Note on the medien of a multivariate distribution”. Biometrika 35 (3–4): 414–417. doi:10.1093/biomet/35.3-4.414.
• Plastria, Frank (2006). “Four-point Fermat location problems revisited. New proofs and extensions of old results”. IMA Journal of Management Mathematics 17 (4): 387–396. doi:10.1093/imaman/dpl007..