Problema de Weber

En geometria, el problema de Weber, cridat aixina per Alfred Weber, és un dels problemes més famosos de localisació industrial. Requerix trobar un punt en el pla que minimise la suma dels costs de transport des d'este punt fins a n punts de destí, a on els diferents punts de destí poden estar associats en diferents costs per unitat de distància.

El problema de Weber generalisa el concepte de mijana geomètrica, que supon que els costs de transport per unitat de distància són els mateixos per a tots els punts de destí, i el problema de calcular el Punt de Fermat, la mijana geomètrica de tres punts. Per esta raó, a voltes se li crida problema de Fermat-Weber, encara que també s'ha utilisat el mateix nom per al problema de la mijana geomètrica no ponderada. El problema de Weber és a la seua volta generalisat pel problema d'atracció-repulsió, que permet que alguns dels costs siguen negatius, per lo que alguns dels punts deuen estar a la major distància possible.

Definició i història dels problemes de Fermat, Weber i d'atracció-repulsió

	Problema de Fermat	Problema de Weber	Problema d'atracció-repulsió
Primera formulació per |align="left"| Fermat (abans de 1640)	Simpson (1750)	Tellier (1985)
Solució geomètrica del problema del triàngul	Torricelli (1645)	Simpson (1750)	Tellier (2013)
Solució numèrica directa del problema del triàngul	Tellier (1972)	Tellier (1972)	Tellier (1985)
Solució numèrica iterativa del problema	Kuhn i Kuenne (1962)	Kuhn i Kuenne (1962)	Chen, Hansen, Jaumard i Tuy (1992)

En el cas del triàngul, el problema de Fermat consistix en situar un punt D sobre tres punts A, B i C de manera que es minimise la suma de les distàncies entre D i cada u dels atres tres punts. Va ser formulat pel famós matemàtic francés Pierre de Fermat abans de 1640, i pot vore's com el verdader començ tant de la teoria de l'ubicació com de l'economia espacial. Torricelli va trobar una solució geomètrica a este problema al voltant de 1645, pero encara no es disponia d'una solució numèrica directa més de 325 anys despuix. Kuhn i Kuenne varen trobar una solució iterativa per al problema general de Fermat en 1962 i, en 1972, Tellier va trobar una solució numèrica directa per al problema del triàngul de Fermat, que és trigonométrica. La solució de Kuhn i Kuenne s'aplica al cas de polígons que tenen més de tres costats, lo que no ocorre en la solució de Tellier per raons que s'expliquen més alvance.

El problema de Weber consistix, en el cas del triàngul, en situar un punt D sobre tres punts A, B i C de manera que es minimise la suma dels costs de transport entre D i cada u dels atres tres punts. El problema de Weber és una generalisació del problema de Fermat, ya que involucra forces d'atracció tant iguals com a desiguals (vore més avall), mentres que el problema de Fermat solament tracta en forces d'atracció iguals. Primer va ser formulat i resolt geomètricament en el cas del triàngul per Thomas Simpson en 1750. Més tart va ser popularisat per Alfred Weber en 1909. La solució iterativa de Kuhn i Kuenne trobada en 1962, i la solució de Tellier trobada en 1972 s'apliquen al problema del triàngul de Weber aixina com al de Fermat. La solució de Kuhn i Kuenne s'aplica també al cas de polígons que tenen més de tres costats.

En la seua versió més simple, el problema d'atracció-repulsió consistix en ubicar un punt D sobre tres punts A₁, A₂ i R de tal manera que les forces d'atracció eixercides pels punts A₁ i A₂, i la força de repulsió eixercida pel punt R es cancelen unes a atres en el punt òptim. Constituïx una generalisació dels problemes de Fermat i Weber. Va ser formulat i resolt per primera volta, en el cas del triàngul, en 1985 per Luc-Normand Tellier. En 1992, Chen, Hansen, Jaumard i Tuy varen trobar una solució al problema de Tellier per al cas de polígons de més de tres costats.

Solució geomètrica de Torricelli al problema del triàngul de Fermat

Erro al crear miniatura:

Solució geomètrica de Torricelli del problema del triàngul de Fermat

La solució geomètrica d'Evangelista Torricelli del problema del triàngul de Fermat es deriva de dos observacions:

1– el punt D està en la seua ubicació òptima quan qualsevol moviment significatiu fòra d'eixa ubicació induïx un aument net de la distància total als punts de referència A, B i C, lo que significa que el punt òptim és l'únic punt a on un moviment infinitesimal cap a un dels tres punts de referència induïx una reducció de la distància a eixe punt que és igual a la suma dels canvis induïts en les distàncies als atres dos punts; de fet, en el problema de Fermat, la ventaja de reduir la distància des d'en un quilómetro és igual a la ventaja de reduir la distància des de B en un quilómetro o la distància des de C en la mateixa llongitut; en atres paraules, l'activitat a ubicar en D és igualment atreta per a, B i C;

2– segons una important teorema de la geometria euclidiana, en un quadrilàter convex inscrit en una circumferència, els ànguls oposts són suplementaris (és dir, la seua suma és igual a 180°); eixa teorema també pot prendre la següent forma: si es talla un círcul en una corda AB, s'obtenen dos arcs de círcul, denominats AiB i AjB; en l'arc AiB, qualsevol àngul ∠AiB és el mateix per a qualsevol punt elegit i, i, en l'arc AjB, tots els ànguls ∠AjB també són iguals per a qualsevol punt elegit j; ademés, els ànguls ∠AiB i ∠AjB són suplementaris.

Es pot demostrar que la primera observació implica que, en el punt òptim, els ànguls entre les rectes AD, BD i CD deuen ser iguals a 360° / 3 = 120°. Torricelli va deduir d'eixa conclusió que:

1– si qualsevol triàngul ABD, l'àngul del qual ∠ADB és igual a 120°, genera un quadrilàter ABDE convex inscrit en una circumferència, el ∠ABE un àngul del triàngul ABE deu ser igual a (180° − 120°)= 60°;

2– una forma de determinar el conjunt d'ubicacions de D per a les quals l'àngul ∠ADB és igual a 120° és dibuixar un triàngul ABE equilátero (perque cada àngul d'un triàngul equilátero és igual a 60°), a on I està ubicat fòra del triàngul ABC, i es dibuixa un círcul al voltant d'eixe triàngul; llavors tots els punts D’ de la circumferència d'eixe círcul que estan dins del círcul ABC són tals que l'àngul ∠AD’B és igual a 120°;

3– el mateix raonament es pot fer sobre els triànguls ACD i BCD;

4– açò du a traçar atres dos triànguls equiláteros ACF i BCG, a on F i G estan ubicats fòra del triàngul ABC, aixina com atres dos círculs al voltant d'estos triànguls equiláteros, i determinar l'ubicació a on els tres círculs es tallen; en eixa ubicació, els ànguls entre les rectes AD, BD i CD són necessàriament iguals a 120°, lo que prova que és l'ubicació òptima.

Bibliografia

• Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte and Hoang Tuy, 1992, "Weber's Problem with Attraction and Repulsion," Journal of Regional Science 32, 467–486.
• Kuhn, Harold W. and Robert E. Kuenne, 1962, "An Efficient Algorithm for the Numerical Solution of the Generalized Weber Problem in Spatial Economics." Journal of Regional Science 4, 21–34.
• Ottaviano, Gianmarco and Jacques-François Thisse, 2005, « New Economic Geography: what about the N? », Environment and Planning A 37, 1707–1725.
• Simpson, Thomas, 1750, The Doctrine and Application of Fluxions, London.
• Tellier, Luc-Normand and Boris Polanski, 1989, “The Weber Problem: Frequency of Different Solution Types and Extension to Repulsive Forces and Dynamic Processes”, Journal of Regional Science, vol 29, no. 3, p. 387–405.
• Tellier, Luc-Normand, 1972, “The Weber Problem: Solution and Interpretation”, Geographical Analysis, vol. 4, no. 3, pp. 215–233.
• Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie spatiale: rationalité économique de l'espace vaig habitar, Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 pages.
• Tellier, Luc-Normand, 2013, « Annexe 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d’attraction–répulsion », annex of the paper of Pierre Hansen, Christophe Meyer and Luc-Normand Tellier, « Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », in Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies, Québec, Presses de l’Université du Québec.
• Weber, Alfred, 1909, Über donen Standort der Industrien, Tübingen, J.C.B. Mohr) — English translation: The Theory of the Location of Industries, Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 pages.
• Wesolowski, Georges, 1993, «The Weber problem: History and perspective», Location Science, Vol. 1, p. 5–23.