Punt de Fermat

Fig 1. Construcció per a obtindre el primer centre isogónico, X(13).

Geometria del punt de Fermat

El punt de Fermat d'un triàngul, també cridat punt de Torricelli, és un punt tal que la distància total des dels tres vèrtiços del triàngul al punt és la mínima possible. El seu nom es deu a que el problema va ser plantejat originalment per Fermat en una carta privada para Evangelista Torricelli, qui ho va resoldre. El seu pupil, Viviani, va publicar la solució en 1659.

El punt de Fermat dona una solució a la mijana geomètrica i el problema del arbre de Steiner per a tres punts.

Construcció

Si cap àngul del triàngul supera als 120°, el punt de Fermat permaneix en l'interior del triàngul i la seua posició coincidix en la del primer punt isogónico o X(13). Per a localisar-ho es deu:

1. Construir dos triànguls equiláteros en dos costats qualssevol del triàngul.
2. Per a cada nou vèrtiç dels triànguls equiláteros, traçar una recta des d'ahí fins al vèrtiç opost del triàngul donat.
3. L'intersecció de dos d'estes rectes és el punt de Fermat.

Existix un método alternatiu, respectant el llímit de 120°:

1. En qualsevol dels costats, construir dos triànguls isósceles, en els costats en qüestió com a bases, ànguls de 30° en la base i vèrtiços fòra del triàngul original.
2. Dibuixar dos circumferències, cada u en el centre en el vèrtiç dels triànguls isósceles recent construïts i de ràdio el costat idèntic dels triànguls isósceles.
3. L'intersecció interior al triàngul original entre les dos circumferències és el punt de Fermat.