Derivada covariant exterior

Vore també: Segona derivada covariant

Diagrama de recuperació de la derivada covariant del transport paralel per a una conexió en un fes vectorial

En el camp de la geometria diferencial, la derivada covariant exterior és una extensió de la noció de derivada exterior a l'establiment d'un fibrado principal o fibrado vectorial diferenciable en una conexió.

Definició

Siga G un grup de Lie i P → M siga un fibrado principal sobre G en una varietat diferenciable M. Suponga's que hi ha una conexió en P; açò produïx una descomposició de suma directa natural $T_{u}P=H_u\oplus V_u$ de cada espai tangente en els subespacios horisontal i vertical. Siga $h:T_{u}P\to H_u$ la proyecció al subespacio horisontal.

Si ϕ és una k-forma en P en valors en un espai vectorial V, llavors la seua derivada covariant exterior Dϕ és una forma definida per

$D\varphi (v_0,v_1,\dots ,v_k)=d\varphi (h{v}_0,h{v}_1,\dots ,h{v}_k)$

a on els v_i són vectores tangentes a P en o.

Suponga's que ρ : G → GL(V) és una representació de G en un espai vectorial V. Si ϕ és equivariante en el sentit de que

$R_g^{*}\varphi =\rho (g{)}^{-1}\varphi$

a on $R_g(u)=ug$, llavors Dϕ és una (k + 1) forma tensorial sobre P del tipo ρ: és equivariante i horisontal (una forma ψ és horisontal si ψ(v₀, ..., v_k)= ψ(hv₀, ..., hv_k).)

En lo que constituïx un abús de notació, el diferencial de ρ en l'element identitat pot novament denotar-se per ρ:

$\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(V).$

Siga $\omega$ l'un forma conexió i $\rho (\omega )$ la representació de la conexió en $𝔤𝔩(V).$. És dir, $\rho (\omega )$ és un $𝔤𝔩(V)$ forma valorada que desapareix en el subespacio horisontal. Si ϕ és una forma tensorial k de tipo ρ, llavors

$D\varphi =d\varphi +\rho (\omega )\cdot \varphi ,$

a on, seguint la notació amprada en les operacions sobre una forma diferencial valorada en un àlgebra de Lie, s'escriu

$(\rho (\omega )\cdot \varphi )(v_1,\dots ,v_{k+1})=\frac{1}{(1+k)!}\sum _{\sigma }\mathrm{sgn}(\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\varphi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).$

A diferència de la derivada exterior habitual, que eleva el quadrat a 0, la derivada covariant exterior no ho fa. En general, es té, per a una forma zero tensorial ϕ,

$D^2\varphi =F\cdot \varphi .$

a on F= ρ(Ω) és la representació sobre $𝔤𝔩(V)$ de la forma de curvatura d'orde 2 Ω. La forma F a voltes es denomina tensor de camp electromagnètic, en analogia en el paper que eixercita en electromagnetisme. Tinga's en conte que D² desapareix per a una conexió plana (és dir, quan Ω= 0).

Si ρ : G → GL(Rⁿ), llavors es pot escriure

$\rho (\Omega )=F=\sum {F^i}_j{e^j}_i$

a on ${e^i}_j$ és la matriu en 1 en l'entrada (i, j) i zero en les atres entrades. La matriu ${F^i}_j$ les entrades de la qual són 2-formes en P es diu matriu de curvatura.

Para fas de vectores

Donat un fes de vectores reals suaus I → M en conexió ∇ i ranc r, la derivada covariant exterior és una aplicació llineal real en formes diferencials en valors vectorials que es valora en I:

$d^{\mathrm{\nabla }}:{\Omega }^k(M,E)\to {\Omega }^{k+1}(M,E).$

La derivada covariant és una aplicació d'este tipo per a k = 0. Les derivades covariants exteriors estenen esta aplicació al cas de k general. Hi ha vàries formes equivalents de definir este objecte:

• Suponga's que es considera que una forma 2 diferencial en valors vectorials assigna a cada p una aplicació multilineal s_p: T_pM × T_pM → I_p que és completament antisimètrica. Llavors, la derivada covariant exterior d^∇ s assigna a cada p una aplicació multilineal T_pM × T_pM × T_pM → I_p donada per la fòrmula

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{x_1}(s(X_2,X_3))& -{\mathrm{\nabla }}_{x_2}(s(X_1,X_3))+{\mathrm{\nabla }}_{x_3}(s(X_1,X_2))\\ & -s([X_1,X_2],x_3)+s([X_1,X_3],x_2)-s([X_2,X_3],x_1).\end{array}$

a on x₁, x₂, x₃ són vectores tangentes arbitraris en p que s'estenen per a suavisar els camps vectorials X₁, X₂ X₃ definits localment. La llegitimitat d'esta definició depén del fet de que l'expressió anterior depén únicament de x₁, x₂, x₃ i no de l'elecció de l'extensió. Açò pot verificar-se per mig de la regla de Leibniz per a la diferenciació covariant i per als corchetes de Lie en camps vectorials. El patró establit en la fòrmula anterior en el cas k = 2 es pot estendre directament per a definir la derivada covariant exterior per a k arbitrari.

• La derivada covariant exterior pot caracterisar-se per la propietat axiomàtica de definir per a cada k una aplicació llineal real Ω^k(M, I) → Ω^{k + 1}(M, I) que para k = 0 és la derivada covariant i en general satisfà la regla de Leibniz.

$d^{\mathrm{\nabla }}(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1{)}^k\omega \wedge (d^{\mathrm{\nabla }}s)$

per a qualsevol forma k diferencial ω i qualsevol forma s en valor vectorial. Açò també pot vore's com una definició inductiva directa. Per eixemple, per a qualsevol s d'1-forma diferencial en valor vectorial i qualsevol marc local i₁, ..., i_r del fes de vectores, les coordenades de s són ω₁, ..., ω_r d'1 forma diferencial definides localment. La fòrmula inductiva anterior diu llavors que

$\begin{array}{cc}{d}^{\mathrm{\nabla }}s& =d^{\mathrm{\nabla }}({\omega }_1\wedge e_1+\cdots +{\omega }_r\wedge e_r)\\ & =d{\omega }_1\wedge e_1+\cdots +d{\omega }_r\wedge e_r-{\omega }_1\wedge \mathrm{\nabla }{e}_1-\cdots -{\omega }_r\wedge \mathrm{\nabla }{e}_r.\end{array}$

Per a que esta siga una definició llegítima de d^∇s, es deu verificar que l'elecció del marc local siga irrellevant. Açò pot comprovar-se considerant un segon marc local obtingut per mig d'una matriu de canvi de base arbitrària. Una matriu invertible proporciona la matriu de canvi de base per a ω₁, ..., ω_r d'1-forma. Quan se substituïx en la fòrmula anterior, la regla de Leibniz aplicada a la derivada exterior estàndart i a la derivada covariant ∇ anula l'elecció arbitrària.

• Un s de 2-formes diferencials en valors vectorials pot considerar-se com una determinada colecció de funcions s^α_ij assignades a un marc local arbitrari de I sobre un grafo de coordenades local de M. La derivada covariant exterior es definix llavors com donada per les funcions

$(d^{\mathrm{\nabla }}s{)}^{\alpha }{}_{ijk}={\mathrm{\nabla }}_i{s}^{\alpha }{}_{jk}-{\mathrm{\nabla }}_j{s}^{\alpha }{}_{ik}+{\mathrm{\nabla }}_k{s}^{\alpha }{}_{ij}.$

El fet de que açò definixca un camp tensorial valorat en I és una conseqüència directa del mateix fet per a la derivada covariant. El fet adicional de que siga una 3-forma diferencial valorada en I afirma la antisimetría completa en i, j, k i es verifica directament a partir de la fòrmula anterior i la suposició contextual de que s és una 2-forma diferencial valorada per un vector, de modo que s^α_ij = −s^α_ji. El patró en esta definició de la derivada covariant exterior per a k = 2 es pot estendre directament a valors majors de k.
Esta definició pot expressar-se alternativament en térmens d'un marc local arbitrari de I, pero sense considerar coordenades en M. Llavors, una 2-forma diferencial en valors vectorials s'expressa per mig de 2-formes diferencials s¹, ..., s^r i la conexió s'expressa per mig de la 1-forma de conexió, una matriu d'orde r × r simètrica biaixada d'1-formes diferencials θ_α^β. La derivada covariant exterior de s, com una 3-forma diferencial valorada per un vector, s'expressa en relació en el marc local per mig de r moltes 3-formes diferencials, definides per

$(d^{\mathrm{\nabla }}s{)}^{\alpha }=d(s^{\alpha })+{\theta }_{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.$

En el cas del fes de rectes reals trivial ℝ × M → M en la seua conexió estàndar, les formes diferencials en valors vectorials i les formes diferencials es poden identificar naturalment entre sí, i cada una de les definicions anteriors coincidix en la derivada exterior estàndar.

Donat un paquet principal, qualsevol representació llineal del grup d'estructures definix un fibrado associat, i qualsevol conexió en el paquet principal induïx una conexió en el paquet de vectores associat. Les formes diferencials valorades en el paquet de vectores poden identificar-se naturalment en les formes tensoriales completament antisimètriques en l'espai total del paquet principal. Baix esta identificació, les nocions de derivada covariant exterior per al fibrado principal i per al fibrado vectorial coincidixen entre sí.

La curvatura d'una conexió en un fes de vectores es pot definir com la composició de les dos derivades covariants exteriors Ω⁰(M, I) → Ω¹(M, I) i Ω¹(M, I) → Ω²(M, I), de modo que es definix com una aplicació llineal real F: Ω⁰(M, I) → Ω²(M, I). És un fet fonamental, pero no immediatament evident, que F(s)_p: T_pM × T_pM → I_p solament depén de s(p) i ho fa de forma llineal. Com a tal, la curvatura pot considerar-se com un element de Ω²(M, End(I)). Depenent de cóm es formule la derivada covariant exterior, es poden obtindre vàries definicions de curvatura alternatives pero equivalents (algunes sense el llenguage de diferenciació exterior).

És un fet ben conegut que la composició de la derivada exterior estàndart en si mateixa és zero: d(dω) = 0. En el context actual, es pot considerar que açò diu que la conexió estàndar en el fes de llínees trivial ℝ × M → M té curvatura zero.

Bibliografia

• (1987) Einstein manifolds, Reprinted in 2008 (vol. 10), Berlin: Springer Science+Business Mija. doi:10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2.
• (1982) Analysis, manifolds and physics, Second edition of 1977 original edició, Amsterdam–New York: North-Holland Publishing Co.. ISBN 0-444-86017-7.
• (1990) The geometry of four-manifolds, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 0-19-853553-8.
• “Harmonic mappings of Riemannian manifolds” (1964). American Journal of Mathematics 86 (1): 109–160. doi:10.2307/2373037.
• “Gravitation, gauge theories and differential geometry” (1980). Physics Reports 66 (6): 213–393. doi:10.1016/0370-1573(80)90130-1. Bibcode: 1980PhR....66..213I.
• (2017) Riemannian geometry and geometric analysis, Seventh edition of 1995 original edició, Springer Nature. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3.
• (1963) Foundations of differential geometry. Vol I, Reprinted in 1996 (vol. 15), New York–London: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15733-3.
• (1993) Natural operations in differential geometry, Berlin: Springer Science+Business Mija. ISBN 3-540-56235-4.

• (1974) Characteristic classes (vol. 76), Princeton, NJ: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400881826. ISBN 0-691-08122-0.
• (2003) Geometry, topology and physics, Second edition of 1990 original edició, Institute of Physics, Bristol. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 0-7503-0606-8.
• (1987) Spinors and space-clave. Vol. 1. Two-spinor calculus and relativistic fields, Second edition of 1984 original edició, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511564048. ISBN 0-521-33707-0.
• (2011) Partial differential equations II. Qualitative studies of linear equations, Second edition of 1996 original edició (vol. 116), New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7052-7. ISBN 978-1-4419-7051-0.