Abús de notació

En matemàtiques, es parla d'un abús de notació (terme lliteralment traduït de l'expressió original en anglés, abuse of notation), quan un autor usa una notació matemàtica d'una manera que no és del tot formalment correcta, pero que pot ajudar a simplificar l'exposició o sugerir una intuïció correcta de cóm abordar un problema (deixant l'aclariment de possibles confusions per al final). No obstant, ya que el concepte de correcció formal/sintàctica depén tant del temps com del context, certes notacions en matemàtiques que estan marcades com a abús en un context podrien ser formalment correctes en un o més contexts. Poden ocórrer abusos de notació depenents del temps quan s'introduïxen notacions noves en una teoria algun temps ans que la teoria es formalise per primera volta. Estos casos poden corregir-se formalment consolidant i/o millorant la teoria. El abús de notació deu contrastar-se en el mal us de la notació, que no té els beneficis de presentació del primer i deu evitar-se (com per eixemple, el mal us de la constant d'integració).

Un concepte relacionat és el abús de llenguage, a on es fa mal us d'un terme, en lloc d'una notació. Per eixemple, si be la paraula representació designa correctament en teoria de grups un homomorfisme del grup G sobre el grup llineal general GL(V), a on V és un espai vectorial, és comú cridar a V "una representació de G". Un atre abús comú del llenguage consistix en identificar dos objectes matemàtics que són diferents, pero canónicamente isomorfos. Distints eixemples inclouen identificar una funció constant en el seu valor, identificar un grup en una operació binaria en el nom del seu conjunt subjacent o identificar en ${ℝ}^3$ l'espai euclídeo de dimensió tres equipat en un sistema de coordenades cartesianas.

Eixemples

Objectes matemàtics estructurats

Molts objectes matemàtics consten d'un conjunt, a sovint cridat conjunt subjacent, equipat en alguna estructura adicional, com una operació (matemàtica) o una topología. És un abús comú de notació utilisar la mateixa notació per al conjunt subjacent i l'objecte estructurat (un fenomen conegut com a supressió de paràmetros). Per eixemple, $\mathbb{Z}$ pot denotar el conjunt dels número entero, el grup dels número entero junt en l'adició, o l'anell dels número entero sobre la suma i la multiplicació. En general, no hi ha problema en açò si l'objecte al que es fa referència es comprén be, i evitar tal abús de notació podria inclús fer que els texts matemàtics siguen menys inteligibles i més difícils de llegir. Quan este abús de notació puga resultar confús, es poden distinguir entre estes estructures denotant $(\mathbb{Z},+)$ el grup dels número entero sobre la suma i $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ l'anell dels número entero.

De manera similar, un espai topològic consta d'un conjunt X (el conjunt subjacent) i una topología $𝒯,$ que es caracterisa per un conjunt de subconjunts de X (els conjunts oberts). En major freqüència, es considera solament una topología en X, per lo que generalment no hi ha problema en referir-se a X com el conjunt subjacent i el parell que consistix en X i la seua topología $𝒯$, encara que són objectes matemàtics tècnicament distints. No obstant, pot ocórrer en algunes ocasions que es consideren dos topología diferents simultàneament en un mateix conjunt, en el cas del qual es deu anar en conte i utilisar notacions com $(X,𝒯)$ i $(X,{𝒯}^{\prime })$ per a distinguir entre els diferents espais topològics.

Notació de funcions

En molts llibres de text es poden trobar frases com "Siga $f(x)$ una funció ...". Açò és un abús de notació, ya que el nom d'una funció és $f,$ i $f(x)$ denota el valor de $f$ per a l'element $x$ del seu domini. Les frases correctes més precisament inclouen "Siga $f$ una funció de la variable $x$ ..." o "Siga $x\mapsto f(x)$ una funció ...". Este abús de notació s'usa àmpliament, ya que simplifica la formulació i l'us sistemàtic de la notació correcta complica innecessàriament els texts.

Un abús similar de notació es produïx en oracions com "Considere's la funció $x^2+x+1$ ...", quan en realitat $x^2+x+1$ és una expressió polinòmica, no una funció per es. La funció que associa $x^2+x+1$ a $x$ es pot denotar com $x\mapsto x^2+x+1.$. No obstant, este abús de notació s'usa àmpliament, ya que és més conciso i generalment no du a confusió.

Igualtat front a isomorfisme

Moltes estructures matemàtiques es definixen per mig d'una propietat característica (a sovint, una propietat universal). Una volta definida esta propietat, pot haver vàries formes de construir l'estructura, i els resultats corresponents són objectes formalment diferents, pero que tenen exactament les mateixes propietats (és dir, són isomorfismes). Com no hi ha forma de distinguir estos objectes isomorfos a través de les seues propietats, lo habitual és considerar-los iguals, inclús si açò és formalment incorrecte.

Un eixemple d'açò és el producte cartesiano, que a sovint es considera associatiu:

$(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G$.

Pero açò no és estrictament cert: si $x\in E$, $y\in F$ i $z\in G$, l'identitat $((x,y),z)=(x,(y,z))$ implicaria que $(x,y)=x$ i $z=(y,z)$, per lo que $((x,y),z)=(x,y,z)$ no significaria res. No obstant, estes igualtats poden llegitimar-se i fer-se rigoroses en la teoria de categories, utilisant l'idea de la transformació natural.

Un atre eixemple d'abusos similars ocorre en declaracions com "hi ha dos grups no abelianos d'orde 8", que dit més estrictament significa "hi ha dos classes d'isomorfisme de grups no abelianos d'orde 8".

Classes d'equivalència

Fer referència a una classe d'equivalència d'una relació d'equivalència per mig de x en lloc de [x] és un abús de notació. Formalment, si un conjunt X se somet a una partició per mig d'una relació d'equivalència , llavors per a cada x ∈ X, la classe d'equivalència {i ∈ X | i x} es denota per [x]. Pero en la pràctica, si el restant de la discussió se centra en les classes d'equivalència en lloc d'en els elements individuals del conjunt subjacent, llavors és comú eliminar els corchetes.

Per eixemple, en aritmètica modular, es pot formar un grup finito d'orde n dividint els número entero per mig de la relació d'equivalència "x i si i solament si x ≡ ' 'i (mod n)". Els elements d'eixe grup serien llavors [0], [1], ..., [n − 1], pero en la pràctica normalment es denoten simplement com 0, 1, ..., n -1.

Un atre eixemple és l'espai de (classes de) funcions mesurables sobre un espai de mida, o classes de funcions integrables de Lebesgue, a on la relació d'equivalència és l'igualtat "casi en tots els llocs".

Subjetividad

Els térmens "abús del llenguage" i "abús de notació" depenen del context. Escriure "f : A → B" per a una funció parcial de A a B és casi sempre un abús de notació, pero no en el context de la teoria de categories, a on f pot vore's com un morfismo en la categoria de conjunts i funcions parcials.

Traduccions des de l'anglés a l'espanyol

Hi ha dos casos molt habituals d'abús de notació en traduir artículs des de l'anglés a l'espanyol, achacables al sentit lèxic més ampli d'alguns térmens en la llengua anglesa. Un cas comú és la paraula "circle" (que sol amprar-se indistintament per a parlar de círculs i de circumferències, mentres que en espanyol són dos conceptes distints); i un atre cas comú és la paraula "line" (que en anglés sol usar-se per a parlar de llínees rectes, mentres que en espanyol la paraula "llínea" en solitari no presupon el concepte de "recta", i pot fer referència tant a "llínees curves" com a llínees rectes"). En este sentit, no és infreqüent trobar traduccions a l'espanyol en les que es parla de círculs, quan en alguns casos seria més propi parlar de circumferències.

Vore també

• Notació matemàtica
• Nom equivocat