Forma de curvatura

En geometria diferencial, la forma de curvatura és una generalisació del tensor de curvatura a un fibrado principal en conexió arbitrari.

Siga I → B un fibrado en grup d'estructura el grup de Lie G i $𝔤$ l'àlgebra de Lie de G.

Assumim que ω denota la 1-forma a valors en $𝔤$ que definix la conexió en un fibrado. Llavors la forma de curvatura és la 2-forma Ω= d ω + ω ∧ ω ací d és la derivada exterior i ∧ és el producte cunya (és una miqueta estranye aplicar el producte cunya a les formes en valors en $𝔤$, pero treballa de la mateixa manera).

Per al fibrado tangente d'una varietat de Riemann tenim O(n) com el grup d'estructura i el Ω és la 2-forma en valors en $𝔬$(n) (que es poden pensar com a matrius antisimètriques, donada una base ortonormal). En este cas la forma Ω és una descripció alternativa del tensor de curvatura, a saber en la notació estàndar (usant un marc tangente coordenat ${\partial }_s$) per al tensor de curvatura tenim

$R(X,Y){\partial }_k={{\Omega }^s}_k(X,Y){\partial }_s$.

Referències

S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Capítuls 2 i 3, Vol.I, Wiley-Interscience.