Matriu i determinant jacobianos

En càlcul vectorial, la matriu jacobiana d'una funció vectorial de vàries variables és la matriu els elements de la qual són les derivades parcials de primer orde de dita funció. Si esta matriu és quadrada, el seu determinant es diu el determinant jacobiano.

Tant la matriu jacobiana com el determinant jacobiano reben el seu nom en honor al matemàtic Carl Gustav Jacobi.

Definició

Quan $m=n$, la matriu Jacobiana és quadrada. El seu determinant és conegut com el determinant Jacobiano de $𝐟$.

• Quan $m=1$, açò és, quan $f:{ℝ}^n⟶ℝ$ és un camp escalar, la matriu Jacobiana es reduïx a un vector fila. Este vector fila en totes les derivades parcials de primer orde és el gradient de $f$, és dir, ${\text{J}}_f(x)=\mathrm{\nabla }f(x)$.
• Quan $m=n=1$, açò és, quan $f:ℝ⟶ℝ$ és una funció una variable, la matriu Jacobiana només té una entrada: la derivada de la funció $f$ en el punt.

Pròpiament deuríem parlar més que de matriu jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicació llineal jacobiana ya que la forma de la matriu dependrà de la base o coordenades elegides. És dir, donades dos bases diferents l'aplicació llineal jacobiana tindrà components diferents encara tractant-se del mateix objecte matemàtic. La propietat bàsica de la "matriu" jacobiana és la següent, donada una aplicació qualsevol $𝐅:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ contínua, és dir $𝐅\in {𝒞}^{(k)}({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ es dirà que és diferenciable si existix una aplicació llineal $𝝀\in ℒ({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ tal que:

$\underset{\Vert 𝐱-𝐲\Vert \to 0}{\lim }\frac{\Vert (𝐅(𝐱)-𝐅(𝐲))-𝝀(𝐱-𝐲)\Vert }{\Vert 𝐱-𝐲\Vert }=0$

Si $𝐩$ és un punt en ${ℝ}^n$ i $𝐅$ és diferenciable en $𝐩$ llavors el seu diferencial està donada per J_F(p). En este cas, l'aplicació llineal descrita per J_F(p) és la millor aproximació llineal de $𝐅$ prop del punt $𝐩$, d'esta manera:

$𝐅(𝐱)\approx 𝐅(𝐩)+J_{𝐅}(𝐩)(𝐱-𝐩)$

per a $𝐱$ prop de $𝐩$. O en major precisió:

$\underset{\Vert 𝐱-𝐩\Vert \to 0}{\lim }\frac{\Vert 𝐅(𝐱)-𝐅(𝐩)-J_{𝐅}(𝐩)(𝐱-𝐩)\Vert }{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }=0$

En certs espais vectorials de dimensió no finita, formats per funcions, pot generalisar-se el concepte de matriu jacobiana definint una aplicació llineal jacobiana.

Determinant jacobiano

Si $m=n$ llavors $𝐅$ és una funció que va de ${ℝ}^n$ a ${ℝ}^n$ i en este cas la matriu jacobiana és una matriu quadrada, per lo que podem calcular el seu determinant, est és conegut com el determinant jacobiano. El determinant jacobiano en ocasions és conegut simplement com “el Jacobiano”.

El determinant jacobiano en un punt donat nos dona informació important sobre el comportament de $𝐅$ prop d'eixe punt. Una funció contínuament diferenciable $𝐅$ és invertible prop del punt $𝐩\in {ℝ}^n$ si el determinant jacobiano en $𝐩$ és no nul. Est és la teorema de la funció inversa. Més encara, el valor absolut del determinant en $𝐩$ nos dona el factor en el qual $𝐅$ expandix o contrau el seu volum prop de $𝐩$.

Vore també

• Matriu
• Matriu hessiana
• Integral múltiple