Àlgebra conmutativa

En àlgebra abstracta, el àlgebra conmutativa és el camp d'estudi dels anells conmutativos, els seus ideals, mòduls i #àlgebra. És una matèria fundacional tant per a la geometria algebraica com per a la teoria algebraica de números. Els eixemples destacats d'anells conmutativos inclouen els anells polinòmics; anells de sancers algebraics, inclosos els sancers ordinaris $\mathbb{Z}$; i sancers p-ádicos.

Es considera que el fundador real de la matèria, en l'época en la que es dia teoria d'ideals, és David Hilbert, qui segons pareix va pensar sobre esta qüestió (al voltant de l'any 1900) com un enfocament alternatiu a la llavors de moda teoria de funcions complexes. Este enfocament seguix certa "llínea" de pensament que considera que els aspectes computacionals són secundaris respecte als estructurals. El concepte adicional de mòdul, presentat d'alguna manera en el treball de Kronecker, és tècnicament un pas alvance si es compara en treballar sempre directament en el cas especial dels ideals. Este canvi s'atribuïx a l'influència d'Emmy Noether.

Donat el concepte d'esquema, el àlgebra conmutativa és pensada, compresa, de forma raonable, be com la teoria local o be com la teoria afí de la geometria algebraica.

L'estudi general d'anells sense requerir conmutatividad es coneix com àlgebra no conmutativa; és matèria de la teoria d'anells, de la teoria de la representació i també d'atres àrees com la teoria de les #àlgebra de Banach.

Introducció

L'àlgebra conmutativa és essencialment l'estudi dels anells que formen part de la teoria algebraica de números i de la geometria algebraica.

En la teoria algebraica de números, els anells d'número entero algebraics són Domini de Dedekind, que constituïxen, per tant, una classe important d'anells conmutativos. Les consideracions relacionades en la aritmètica modular han dut a la noció d'un anell de valoració. La restricció d'extensions de cos algebraic a subanillos ha dut a les nocions d'extensions integrals i dominis integralmente tancats, aixina com a la noció de ramificació d'una extensió d'anells de valoració.

La noció de localisació d'un anell (en particular la localisació sobre un ideal primer, la localisació que consistix en invertir un sol element i l'anell del cocient total) és una de les principals diferències entre l'àlgebra conmutativa i la teoria dels anells no conmutativos. Conduïx a una classe important d'anells conmutativos, els anells locals que tenen un sol ideal màxim. El conjunt dels ideals principals d'un anell conmutativo està naturalment equipat en una topología, la topología de Zariski. Totes estes nocions són molt utilisades en geometria algebraica i són les ferramentes tècniques bàsiques per a la definició de la teoria d'esquemes, una generalisació de la geometria algebraica introduïda per Grothendieck.

Moltes atres nocions d'àlgebra conmutativa són contrapartides de les nocions geomètriques que ocorren en la geometria algebraica. Est és el cas de la dimensió de Krull, descomposició primària, anells regulars, anells de Cohen-Macaulay, anells Gorenstein i moltes atres nocions.

Història

El tema, per primera volta conegut com a teoria ideal, va començar en el treball de Richard Dedekind sobre ideals, basat en el treball anterior d'Ernst Kummer i Leopold Kronecker. Més vesprada, David Hilbert va introduir el terme "anell" per a generalisar el terme anterior "anell de números". Hilbert va introduir un enfocament més abstracte per a reemplaçar els métodos més concrets i orientats a la computació basats en coses com el anàlisis complex i la teoria invariante clàssica. A la seua volta, Hilbert va influir fortament en Emmy Noether, qui va reformular molts resultats anteriors en térmens d'una condició de cadena ascendent, ara coneguda com la condició Noetheriana. Una atra fita important va ser el treball de l'alumne de Hilbert Emanuel Lasker, qui va introduir els ideals primaris i va provar la primera versió del teorema de Lasker-Noether.

La figura principal responsable del naiximent de l'àlgebra conmutativa com a matèria madura va ser Wolfgang Krull, qui va introduir les nocions fonamentals de localisació i compleción d'un anell, aixina com el d'anells locals regulars. Va establir el concepte de la dimensió Krull d'un anell, primer per als anells noetherianos abans d'expandir la seua teoria per a cobrir els anells de valoració i els anells Krull. Fins al dia de hui, el teorema ideal principal de Krull es considera àmpliament com la teorema fonamental més important de l'àlgebra conmutativa. Estos resultats varen aplanar el camí per a l'introducció de l'àlgebra conmutativa en la geometria algebraica, una idea que revolucionaria esta última matèria.

Gran part del desenroll modern de l'àlgebra conmutativa emfatisa mòduls. Tant els ideals d'un anell R com les #àlgebra R són casos especials de mòduls R, per lo que la teoria de mòduls comprén tant la teoria ideal com la teoria de les extensions d'anells. Encara que ya era incipient en el treball de Kronecker, l'enfocament modern de l'àlgebra conmutativa que usa la teoria de mòduls generalment s'acredita a Krull i Noether.

Ferramentes i resultats principals

Anells noetherianos

Artícul principal → Anelle noetheriano.

En matemàtiques, més concretament en l'àrea del àlgebra moderna coneguda com teoria d'anells, un anell noetheriano, cridat aixina per Emmy Noether, és un anell en el que tot conjunt no buit d'ideals té un element maximal. Equivalentemente, un anell és noetheriano si satisfà la condició de cadena ascendent sobre ideals; és dir, donada qualsevol cadena:

$I_1\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_k\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

existix un n tal que:

$I_n=I_{n+1}=\cdots$

Per a que un anell conmutativo siga noetheriano n'hi ha prou en que cada ideal cosí de l'anell estiga finitamente generat. (El resultat es deu a I. S. Cohen.)

La noció d'anell noetheriano és d'importància fonamental tant en la teoria d'anells conmutativos com en la d'anells no conmutativos, pel paper que eixercita en la simplificació de l'estructura ideal d'un anell. Per eixemple, l'anell de sancers i el anell de polinomis sobre un camp són anells noetherianos i, en conseqüència, teoremes com el teorema de Lasker-Noether, el teorema de l'intersecció de Krull i el teorema de la base de Hilbert són vàlits per a ells. Ademés, si un anell és noetheriano, llavors satisfà la condició de cadena descendent en ideals cosins. Esta propietat sugerix una teoria profunda de la dimensió dels anells noetherianos que comença en la noció de dimensió de Krull.

Teorema de la base de Hilbert

Artícul principal → Teorema de la base de Hilbert.

Si R és un anell noetheriano esquerre (resp. dret), llavors el anell polinòmic R[X] és també un anell noetheriano esquerre (resp. dret).

La teorema de la base de Hilbert té alguns corolaris immediats:

1. Per inducció veem que $R[X_0,\dots ,X_{n-1}]$ també serà noetheriano.

1. Ya que qualsevol varietat afí sobre $R^n$ (és dir un locus-conjunt d'una colecció de polinomis) pot escriure's com el locus d'un ideal $𝔞\subset R[X_0,\dots ,X_{n-1}]$ i ademés com el locus dels seus generadors, es deduïx que tota varietat afí és el locus de finitamente molts polinomis - és dir, l'intersecció de finitamente molts hipersuperficies.
2. Si $A$ és una àlgebra $R$ finitamente generada, llavors sabem que $A\simeq R[X_0,\dots ,X_{n-1}]/𝔞$, a on $𝔞$ és un ideal. La teorema de la base implica que $𝔞$ deu ser finitamente generat, digam $𝔞=(p_0,\dots ,p_{N-1})$, és dir, $A$ és finitamente presentada.

Descomposició primària

Un ideal Q d'un anell es diu que és primari si Q és propi i sempre que xy ∈ Q, o be x ∈ Q o be iⁿ ∈ Q per a algun sancer positiu n. En Z, els ideals primaris són precisament els ideals de la forma (pⁱ) a on p és primer i i és un sancer positiu. Aixina, una descomposició primària de (n) correspon a representar (n) com l'intersecció de finitamente molts ideals primaris.

El teorema de Lasker-Noether', donat ací, pot vore's com una certa generalisació de la teorema fonamental de l'aritmètica:

Teorema de Lasker-Noether:

Siga R un anell noetheriano conmutativo i siga I un ideal de R. Llavors I pot escriure's com la intersecci'on de finitamente molts ideals primaris en distints radicals; és dir:

$I=\bigcap _{i=1}^t{Q}_i$

en Q_i primari per a tot i i Rad(Q_i) ≠ Rad(Q_j) per a i ≠ j. Ademés, si:

$I=\bigcap _{i=1}^k{P}_i$

és la descomposició de I en Rad(P_i) ≠ Rad(P_j) per a i ≠ j, i abdós descomposicions de I són irredundantes (lo que significa que cap subconjunt propi de {Q₁, ... , Q_t} o {P₁, ... P_k} produïx una intersecció igual a I), t = k i (despuix de renumerar possiblement el Q_i) Rad(Q_i) = Rad(P_i) para tot i.

Per a qualsevol descomposició primària de I, el conjunt de tots els radicals, és dir, el conjunt {Rad(Q₁), ..., Rad(Q_t)} seguix sent el mateix per la teorema de Lasker-Noether. De fet, resulta que (per a un anell noetheriano) el conjunt és precisament el primer associat del mòdul R/I; és dir, el conjunt de tots els aniquiladores de R/I (vist com un mòdul sobre R) que són primers.

Localisació

La localisació és una manera formal d'introduir els "denominadors" a un anell donat o a un mòdul. És dir, introduïx un nou anelle/mòdul a partir d'un ya existent de manera que estiga format per fraccions

$\frac{m}{s}$.

a on els denominadorés s oscilen en un subconjunt donat S de R. L'eixemple arquetípico és la construcció de l'anelle Q' dels número racional a partir de l'anell Z dels número entero.

Compleción

Artícul principal → Compleción (àlgebra).

Una compleción és qualsevol dels diversos funtorés relacionats sobre anells i mòduls que donen lloc a anells topològics i mòduls complets. La compleción és similar a la localisació, i juntes es troben entre les ferramentes més bàsiques per a analisar anells conmutativos. Els anells conmutativos complets tenen una estructura més simple que els generals i se'ls aplica el lema de Hensel.

Topología de Zariski sobre ideals cosins

Artícul principal → Topología de Zariski.

La topología de Zariski definix una topología sobre el espectre d'un anell (el conjunt dels ideals cosins). En esta formulació, els conjunts tancats de Zariski són els conjunts

$V(I)=\{P\in \mathrm{Spec}(A)\mid I\subseteq P\}$

a on A és un anell conmutativo fix i I és un ideal. Açò es definix per analogia en la topología clàssica de Zariski, a on els conjunts tancats en l'espai afí són els definits per equacions polinòmiques . Para vejau la conexió en l'image clàssica, note's que per a qualsevol conjunt S de polinomis (sobre un camp algebraicamente tancat), es deduïx del Teorema dels zeros de Hilbert que els punts de V(S) (en el sentit antic) són exactament les tuplas (a₁, ..., a_n) tals que (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) contenen S; ademés, són ideals maximales i per la Nullstellensatz "dèbil", un ideal de qualsevol anell de coordenades afí és maximal si i només si és d'esta forma. Per tant, V(S) és "lo mateix que" els ideals maximales que contenen a S. L'innovació de Grothendieck en definir Spec va ser substituir els ideals maximales per tots els ideals cosins; en esta formulació és natural generalisar simplement esta observació a la definició d'un conjunt tancat en l'espectre d'un anell.

Conexions en la geometria algebraica

L'àlgebra conmutativa (en forma d'anells polinomiales i els seus cocients, utilisats en la definició de varietats algebraiques) sempre ha format part de la geometria algebraica. No obstant, a finals de la década de 1950, les varietats algebraiques es varen incloure en el concepte d'esquema d'Alexander Grothendieck. Els seus objectes locals són esquemes afins o espectres primers, que són espais anellats localment, que formen una categoria que és antiequivalente (dual) a la categoria d'anells unitales conmutativos, estenent la dualitat entre la categoria de varietats algebraiques afins sobre un cos k, i la categoria de k reduït generat finitamente-#àlgebra. El encolado es realisa a lo llarc de la topología de Zariski; es pot pegar dins de la categoria d'espais anellats localment, pero també, usant la incrustación de Yoneda, dins de la categoria més abstracta de pre-onades de conjunts sobre la categoria d'esquemes afins. La topología de Zariski en el sentit de la teoria de conjunts es reemplaça després per una topología de Zariski en el sentit de la topología de Grothendieck. Grothendieck va introduir les topología de Grothendieck tenint en conte eixemples més exòtics pero geomètricament més fins i més sensibles que la topología de Zariski, a saber, la topología étale i les dos topología planes de Grothendieck: fppf i fpqc. Hui en dia alguns atres eixemples s'han tornat prominents, inclosa la topología de Nisnevich. Ademés, les gavillas es poden generalisar a piles en el sentit de Grothendieck, generalment en algunes condicions de representabilidad adicionals, lo que du a piles de Artin i, inclús més fines, piles de Deligne-Mumford, abdós a sovint cridades piles algebraiques.

Bibliografia

• Atiyah, M.,"Introducció a l'àlgebra conmutativa", Barcelona, Reverté, 1980.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry (vol. 150), New York: Springer-Verlag, xvi+785. ISBN 0-387-94268-8.
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2i édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Séries, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6

• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. I., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.