Anell local

En Àlgebra abstracta, els anells locals són certs anells comparativament simples i que servixen per a descriure el comportament local de les funcions definides sobre varietats algebraiques o varietats diferenciables.

Definició i primeres conseqüències

R és un anell local si complix les següents propietats equivalents:

• R té un únic ideal per l'esquerra maximal
• R té un únic ideal per la dreta maximal
• 1≠0 i la suma de qualsevol parell elements en R que no siguen unitats no és tampoc una unitat
• 1≠0 i si x és qualsevol element de R, llavors x o be 1-x és una unitat
• Si una suma finita és una unitat, llavors també ho serà algun dels seus sumants.

Si es donen estes propietats, llavors l'únic ideal per l'esquerra maximal coincidix en l'únic ideal maximal per la dreta i també en el Radical de Jacobson de l'anell.

En el cas d'anells conmutativos no és necessari distinguir entre ideals a un o un atre costat, aixina que un anell conmutativo és local si, i només si, té un únic ideal maximal.

Alguns autors definixen anell local requerint que siga noetheriano sent els no noetherianos cridats anells cuasi-locals. Wikipedia no usarà esta última definició d'anell local.

Eixemples

Conmutativos

Tots els cossos (i cossos "skew", és dir, els anells de divisió) són anells locals, ya que {0} és l'únic ideal maximal en tals anells.

Per a motivar el nom de "locals" per a dits anells, considerem funcions contínues reals definides en algun interval obert al voltant del 0 en la llínea real. Estarem interessats solament en el comportament local de dites funcions prop del 0 i identificarem dos funcions si coincidixen sobre cert (possiblement molt menut) interval obert al voltant del 0. Esta identificació definix una Relació d'equivalència, i les Classes d'equivalència són les "llavors de funcions real-valudas en 0". Tals llavors poden ser sumades i multiplicades i tenen l'estructura d'anell.

Per a vore que este anell de llavors és local, necessitem identificar els seus elements invertibles. Una llavor f és invertible si f(0) ≠ 0. La raó: si f(0) ≠ 0, llavors existix un interval obert al voltant del 0 a on f és distinta de zero, i podem formar la funció g(x) = 1/f(x) sobre dit interval. La funció g nos dona llavors una atra llavor, i el producte de fg és igual a 1.

En dita caracterisació, és clar que la suma de dos llavors qualssevol no-invertibles és de nou no invertible, i tenim un anell conmutativo local. L'ideal maximal de dit anell es compon precisament d'aquelles llavors f tals que f(0) = 0.

El mateix argument funciona per a l'anell de llavors de funcions real-valuadas sobre qualsevol Espai topològic en un punt donat, o l'anell de llavors de funcions diferenciables sobre qualsevol Varietat diferenciable en un punt donat, o l'anell de llavors de funcions racionals sobre qualsevol Varietat algebraica en un punt donat. Tots estos anells són per tant locals. Estos eixemples expliquen per qué els esquemes, la generalisació de les varietats, són definits com a tipos especials d'Espai localment anellat.

Un eixemple més aritmètic és el següent: l'anell de número racional en denominador impar és local; el seu ideal maximal consistix de les fraccions en numerador parell i denominador impar. Més en general, donat qualsevol anell conmutativo R i qualsevol Ideal primer P de R, la localisació de R en P és local; l'ideal maximal és l'ideal generat per P en esta localisació.

Tot anell de Série de potències formal sobre un cos (inclús en vàries variables) és local; l'ideal maximal consistix d'aquelles séries de potències sense terme constant.

L'àlgebra dels números duals sobre qualsevol cos és local. Més en general, si F és un cos i n és un sancer positiu, llavors l'Anelle cocient F[X]/(Xⁿ) és local i el seu ideal maximal consistix en les classes de polinomis en terme constant distint de zero.

Els anells locals juguen un rol fonamental en Teoria de la valuación. Donat un cos K, podem buscar anells locals en ell baix l'assunció de que siga un Cos de funcions. Per definició un anell de valuación de K és un subanillo R, tal que para tot element distint de zero x de K, o be x està en R o ho està x^-1. Qualsevol subanillo tal serà un anell local. Si K fora realment un cos de funcions d'una Varietat algebraica V, llavors per a cada punt P de V podem intentar definir un anell de valuación R de funcions definides en P. En els casos en que V té dimensió 2 o major existix una dificultat: si F i G són funcions racionals sobre V en F(P) = G(P) = 0, la funció F/G és una Forma indeterminada en P. Considera un eixemple simple tal com I/X, aproximant-nos a lo llarc d'una llínea I=tX, s'observa que el valor en P és un concepte que carix d'una definició simplista, i esta s'obté per mig de l'us de valuaciones.

No conmutatividad

Els anells locals no-conmutativos sorgixen en naturalitat com anells d'endomorfismes en l'estudi de descomposicions en sumes directes de mòduls sobre atres anells. Concretament, si l'anell d'endomorfismes del mòdul M és local, llavors M és no-descomponible; i al revés, si el mòdul M té llongitut finita i és no-descomponible, llavors el seu anell d'endomorfismes és local.

Si k és un cos de [[característica (matemàtica)|característica]] p > 0 i G és un p-grup finito, llavors l'àlgebra de grups kg és local.