Anell local regular

En matemàtiques i més concretament en àlgebra conmutativa, un anell local regular és un anell local noetheriano que té la propietat que el número mínim de generadors del seu ideal maximal (també cridat màxim ideal) és exactament el mateix que el seu dimensió de Krull. El mínim número de generadors del ideal maximal està sempre acotat inferiorment per la dimensió de Krull. Formalment, si A és un anell local en ideal maximal m, i supongam que m està generat per a₁,..., a_n, llavors n ≥ dim A, i A és regular si i solament si n = dim A.

És equivalent a dir que la dimensió del espai vectorial m/m², considerat co un espai vectorial sobre el camp residual k=A/m de A, és igual a la dimensió de A.

La denominació de regular està justificada pel seu significat geomètric: un punt d'una varietat algebraica és no-singular si i solament si en anell local associat és regular.

Eixemples

• Tot cos és un anell local regular. Estos tenen dimensió de Krull 0.
• L'anell de números p-ádicos és un anell local regular, per a tot p primer. En general, tots els anells de valuaciones discretes (dominis d'ideals principals en exactament un ideal maximal distint a zero) són anells locals regulars de dimensió 1.
• Segons el teorema d'estructura de Cohen, tot anell local regular complet de dimensió d en un cos K és un anell en d variables sobre una extensió del cos K.