Teorema dels zeros de Hilbert

El Nullstellensatz de Hilbert (en alemà: "teorema dels llocs dels zeros de Hilbert") és un teorema en geometria algebraica que relaciona varietats i ideals en anells de polinomis sobre cossos algebraicamente tancats. Va ser provat inicialment per David Hilbert en el seu artícul sobre teoria de invariantes publicat en 1893.

Formulació

Siga $k$ un cos algebraicamente tancat (com el dels número complejo). Considere l'anell de polinomis $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ i siga $I$ un ideal en este anell. El conjunt algebraic $V(I)$ definit per este ideal consistix de totes les n-tuplas $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ en $k^n$ tal que $f(𝐱)=0$ para tot $f$ en $I$. La teorema dels zeros de Hilbert nos diu que si $p$ és un polinomi en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ que s'anula en la varietat $V(I)$, i.i. $p(𝐱)=0$ para tot $𝐱$ en $V(I)$, llavors existix un número natural $r$ tal que $p^r$ està en $I$.

Un corolari immediat és el Nullstellensatz dèbil: L'ideal $I$ conté a $1$ si i solament si els polinomis en $I$ no tenen zeros en comú en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$. Equivalentemente, si $I$ és un ideal propi en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ llavors $V(I)$ no pot ser buit. Esta és la raó per al nom de la teorema; que és fàcilment demostrador a partir d'esta forma "dèbil" usant el truc de Rabinowitsch. La suposició de que $k$ és algebraicamente tancat és essencial ací; per eixemple l'ideal propi $(X^2+1)$ en $ℝ[X]$ no té un zero comú en $ℝ$.

En la notació comuna de la geometria algebraica, el Nullstellensatz pot ser també formulat com

I(V(J)) = $\sqrt{J}$ para tot ideal $J$

Ací, $\sqrt{J}$ denota el radical de $J$ i $I(U)$ denota l'ideal de tots els polinomis que s'anulen en el conjunt $U$. D'esta manera, obtenim una correspondència biyectiva que revertix l'orde entre les varietats afins en $k^n$ i els ideals radicals de $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ .

Referències

• Shafarevich, Igor. Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space. ISBN 978-3-642-37955-0.