Domini de Dedekind

Archiu:Dedekind.jpeg

Foto de Richard Dedekind en 1870.

En àlgebra abstracta, un domini de Dedekind o anell de Dedekind, cridat aixina pel matemàtic alemà Richard Dedekind (1831-1916), és un domini d'integritat en el que cada ideal propi no nul es convertix en un producte d'ideals cosins. Es pot demostrar que tal factorización és llavors necessàriament única fins a l'orde dels factors. Hi ha a lo manco atres tres caracterisació dels dominis de Dedekind que a voltes es prenen com a definició (vore més avall).

Un cos és un anell conmutativo en el que no hi ha ideals propis no trivials, per lo que qualsevol cos és un domini de Dedekind, encara que d'una manera prou vacua. Alguns autors agreguen el requisit de que un domini de Dedekind no siga un cos. Molts més autors establixen teoremes per als dominis de Dedekind en la condició implícita de que poden requerir modificacions trivials per al cas dels cossos.

Una conseqüència immediata de la definició és que tot domini d'ideals principals (DIP) és un domini de Dedekind. De fet, un domini de Dedekind és un domini d'factorización única (DFU) si i solament si és un DIP.

La prehistòria dels dominis de Dedekind

En el XIX, es va convertir en una tècnica comuna obtindre informació sobre solucions sanceres d'equacions algebraiques utilisant anells de número algebraico de grau superior. Per eixemple, elegixca's un número entero $m$ positiu. En l'intent de determinar qué número entero estan representats per la forma quadràtica $x^2+m{y}^2$, és natural factorizar la forma quadràtica en $(x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y)$, tenint lloc la factorización en l'anell dels número entero del cos quadràtic $\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$. De manera similar, per a un número entero positiu $n$, el polinomi $z^n-y^n$ (que és rellevant per a resoldre l'equació de Fermat $x^n+y^n=z^n$) es pot factorizar sobre l'anell $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$, a on ${\zeta }_n$ és una raïl n-ésima primitiva de l'unitat.

Per a uns pocs valors menuts de $m$ i $n$, estos anells d'número entero algebraics són DIP, i açò pot vore's com una explicació dels èxits clàssics de Fermat ($m=1,n=4$) i Euler ($m=2,3,n=3$). En eixe moment, els teòrics de les formes quadràtiques coneixien be un procediment per a determinar si l'anell de tots els sancers algebraics d'un cos quadràtic $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ dau és un DIP. Especialment, Gauss havia analisat el cas de cossos quadràtics imaginaris: va trobar exactament nou valors de $D<0$ per als quals l'anell de sancers és un DIP i conjeturó que no hi havia més valors (la conjectura de Gauss va ser provada més de cent anys despuix per Kurt Heegner, Alan Baker i Harold Stark). No obstant, açò s'entenia (solament) en el llenguage de les classes d'equivalència de les formes quadràtiques, de modo que en particular l'analogia entre formes quadràtiques i l'equació de Fermat sembla que no havia segut percebuda. En 1847 Gabriel Lamé va anunciar una solució del última teorema de Fermat para tots els $n>2$; és dir, que l'equació de Fermat no té solucions en sancers distints de zero, pero va resultar que la seua solució depenia de la suposició de que l'anell ciclotòmic $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ és un DFU. Ernst Kummer havia demostrat tres anys abans que este no era el cas per a $n=23$ (ara es coneix la llista completa i finita de valors per als que $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ és un DFU). Al mateix temps, Kummer va desenrollar métodos nous i potents per a demostrar l'última teorema de Fermat a lo manco per a una gran classe d'exponents primers $n$ utilisant lo que ara es coneix com el fet de que l'anell $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ és un domini de Dedekind. De fet, Kummer no treballava en ideals sino en números ideals, i Dedekind va donar la definició moderna d'un ideal.

En el XX els algebristas i els teòrics dels números es varen donar conte de que la condició de ser un DIP és prou delicada, mentres que la condició de ser un domini de Dedekind és prou sòlida. Per eixemple, l'anell d'número entero ordinaris és un DIP, pero com es veu dalt, l'anell ${𝒪}_K$ d'número entero algebraics en un cos d'número algebraico $K$ no necessita ser un DIP. De fet, encara que Gauss també conjeturó que hi ha infinits número primo $p$ tals que l'anell d'número entero de $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ és un DIP, en 2016 encara no se sabia si hi ha infinits cossos numèrics $K$ (de grau arbitrari) tals que ${𝒪}_K$ és un DIP. Per un atre costat, l'anell de sancers en un cos numèric és sempre un domini de Dedekind.

Una atra ilustració de la dicotomia delicat/robust és el fet de que ser un domini de Dedekind és, entre els anells noetherianos, una propietat local: un domini noetheriano $R$ és de Dedekind si i solament si per a cada ideal màxim $M$ de $R$, la localisació $R_M$ és un anell de Dedekind. Pero un domini local és un anell de Dedekind si i solament si és un DIP i si i solament si és un anell de valoració discreta, per lo que la mateixa caracterisació local no pot ser vàlida per als DIP: més be, es pot dir que el concepte d'un anell de Dedekind és la globalisació del concepte d'un anell de valoració discreta.

Definicions alternatives

Per a un domini integral $R$ que no és un cos, totes les següents condicions són equivalents:

(DD1) Tot ideal propi distint de zero es factoriza en número primo.

(DD2) $R$ és noetheriano, i la localisació en cada ideal màxim és un anell de valoració discret.

(DD3) Tot ideal fraccional distint de zero de $R$ és invertible.

(DD4) $R$ és un integralment tancat, domini noetheriano en Dimensió de Krull un (és dir, tot ideal cosí distint de zero és màxim).

(DD5) Para qualssevol dos ideals $I$ i $J$ en $R$, $I$ està contingut en $J$ si i solament si $J$ dividix a $I$ com a ideals. És dir, existix un $H$ ideal tal que $I=JH$. Un anell conmutativo (no necessàriament un domini) en unitat que complix esta condició es denomina anell de divisió de contenció (ADC).

Per lo tant, un domini de Dedekind és un domini que és un cos o satisfà qualsevol, i per lo tant les cinc (en ser equivalents) de les condicions de (DD1) a (DD5). Quin d'estes condicions es pren com a definició és, per lo tant, merament una qüestió arbitrària, encara que en la pràctica, sol ser més fàcil de verificar (DD4).

Un domini de Krull és un anàlec de dimensió superior d'un domini de Dedekind: un domini de Dedekind que no és un cos és un domini de Krull de dimensió 1. Esta noció es pot utilisar per a estudiar les diverses caracterisació d'un domini de Dedekind. De fet, esta és la definició d'un domini de Dedekind utilisada en el "Àlgebra conmutativa" de Bourbaki.

Un domini de Dedekind també es pot caracterisar en térmens d'àlgebra homológica: un domini integral és un domini de Dedekind si i solament si és un anell hereditari; és dir, tot submòdul d'un mòdul proyectivo sobre ell és proyectivo. De manera similar, un domini integral és un domini de Dedekind si i solament si tot mòdul divisible sobre ell és inyectivo.

Vore també

• Constant de Davenport

Referències

• (1972).«Commutative Algebra».Addison-Wesley.
• (1965).«Dedekind domains and rings of quotients».Pacific J. Math..15

59–64.doi:10.2140/pjm.1965.15.59.

• (1966).«Every abelian group is a class group».Pacific J. Math..18(2)

219–222.doi:10.2140/pjm.1966.18.219.

• (2009).«Elliptic Dedekind domains revisited».L'Enseignement Mathématique.55(3)

213–225.doi:10.4171/lem/55-3-1.Consultat el 23 d'octubre de 2022.

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications, Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• (1991).«Algebraic number theory».Cambridge University Press.27

35–101.

• (2015).«Conceptual Blending as a Creative meta-generator of mathematical concepts: Prime Ideals and Dedekind Domains as a blend».In: T.R. Besold, K.U. Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (eds.) Proceedings of the 4th International Workshop on Computational Creativity, Concept Invention, and General Intelligence (C3GI) PICS.2[1]

• (2022).«Restricted Minimum Condition in Reduced Commutative Rings».The Mediterranean Journal of Mathematics.19[2]
• (1972).«The class group of Dedekind domains».Trans. Amer. Math. Soc..163

493–500.doi:10.2307/1995734.

• (2008).«Algebraic Number Theory (v3.00)».
• (1953).«Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper».J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A.16

425–439.

• (1976).«Elliptic curves and Dedekind domains».Proc. Amer. Math. Soc..57(2)

197–201.doi:10.2307/2041187.

• (1912).«Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern».Math. Ann..71(3)

328–354.doi:10.1007/BF01456849.

• (1958).«Commutative Algebra, Volume I».D. Van Nostrand Company.