Veritat vacua

En matemàtica i llògica, una veritat vacua o veritat buida és una declaració que afirma que tots els membres del conjunt buit posseïxen certa propietat. Per eixemple, la declaració «tots els teléfons celulars en l'habitació estan apagats» serà certa sempre que no hi haja cap teléfon celular en l'habitació. En este cas, la declaració «tots els teléfons celulars en l'habitació estan encesos» també seria vacuamente verdadera, tant com la conjunció de les dos: «tots els teléfons celulars en l'habitació estan encesos i apagats».

Més formalment, un us relativament ben definit es referix a una declaració condicional en un antecedent fals. Un eixemple de tal declaració és «si Uluru està en França, llavors la Torre Eiffel està en Bolívia». Tals declaracions estan considerades vacuas perque el fet de que l'antecedent és fals impedix utilisar la declaració per a inferir qualsevol cosa sobre el valor de veres del conseqüent. Són certs degut a que un condicional material està definit per a ser verdader quan l'antecedent és fals (sense tindre en conte si la conclusió és verdadera).

En matemàtica pura, les declaracions vacuamente verdaderes no són generalment d'interés per sí soles, pero freqüentment sorgixen com el cas de base de proves per inducció matemàtica. Esta idea és rellevant, aixina com en qualsevol atre camp que use llògica clàssica.

Fòra de la matemàtica, les declaracions que poden ser caracterisades informalmente com vacuamente verdaderes poden ser confuses. Tals declaracions fan asserció raonables sobre objectes qualificats que no existixen realment. Per eixemple, un chiquet podria dir al seu pare o mare «Vaig menjar totes les verdures del meu plat», quan per a escomençar no hi havia cap verdura en el plat del chiquet.

Alcanç del concepte

Una declaració $S$ és «vacuamente certa» o «vacíamente certa» si s'assembla a la declaració $P\Rightarrow Q$, a on se sap que $P$ és fals.

Declaracions que pot ser reduïdes (en transformacions adequades) a esta forma bàsica inclouen les següents declaracions universalment quantificades:

• $\mathrm{\forall }x:P(x)\Rightarrow Q(x)$, a on és el cas que $\mathrm{\forall }x:\mathrm{\neg }P(x)$.
• $\mathrm{\forall }x\in A:Q(x)$, a on el conjunt $A$ és el buit.
• $\mathrm{\forall }\xi :Q(\xi )$, a on el símbol $\xi$ està restringit a tipo que no tinga representatius.

La veritat vacua apareix més comunament en la llògica clàssica, que en particular és bivaluada (és dir, en dos valors de veres, «verdader» i «fals»). Aixina i tot, la veritat vacua també apareix en, per eixemple, en la llògica intuicionista en les mateixes situacions que les donades anteriorment. De fet, si $P$ és fals, $P\Rightarrow Q$ tirarà una veritat vacua en qualsevol llògica que use el condicional material; si $P$ és una falsetat necessària, llavors també tirarà una veritat vacua baix el condicional estricte.

Atres llògiques no clàssiques (per eixemple, la llògica rellevant) poden intentar evitar veritats vacuas per mig de condicionals alternatius (per eixemple, el condicional contrafactual).

Eixemples

Estos eixemples, un de matemàtica i un atre de llenguage natural, podrien ajudar a ilustrar el concepte:

«Per a qualsevol sancer x, si x > 5 llavors x > 3». – Esta declaració és certa no-vacuamente (ya que alguns sancers són més grans que 5), pero algunes de les seues implicacions són sol vacuamente verdaderes: per eixemple, quàn x és el sancer 2, la declaració implica la veritat vacua «si 2 > 5 llavors 2 > 3».

«Eres el meu nebot favorit. De fet, eres el meu únic nebot». – Ya que la tia no té un nebot el qual li agrade més ademés del com s'està dirigint, «Eres el meu nebot favorit» és verdadera, pero ya que llavors tampoc té un nebot que li agrade menys, és una veritat vacua.