Lema de Hensel

En matemàtica, el lema de Hensel, també conegut com a lema d'elevació de Hensel, cridat aixina en honor al matemàtic alemà Kurt Hensel, és un resultat de l'aritmètica modular, que establix que si un polinomi d'una variable té una raïl simple mòdul un número primo $p$, llavors esta raïl pot elevar-se a una única raïl mòdul qualsevol potencia major de $p$. De manera més general, si un polinomi es factoriza mòdul $p$ en dos polinomis coprimos, esta factorización es pot elevar a una factorización mòdul qualsevol potència major de $p$ (el cas de raïls correspon al cas de grau 1 para un dels factors).

En passar al llímit (de fet, és un llímit invers) quan l'exponent de $p$ té al infinit, succeïx que la raïl o la factorización mòdul $p$ pot elevar-se a una raïl o una factorización en els sancers p-ádicos.

Estos resultats han segut àmpliament generalisats, baixe el mateix nom, per al cas de polinomis en un anell conmutativo arbitrari, a on $p$ és reemplaçat per un ideal, i "polinomis coprimos" significa "polinomis que generen un ideal que conté a 1".

El lema de Hensel és fonamental en l'anàlisis p-ádico, una branca de teoria analítica de números.

La demostració del lema de Hensel és constructiva, i conduïx a un algoritme eficient per al alçament Hensel, el qual és fonamental per a factorizar polinomis, i proporciona l'algoritme més eficient conegut para àlgebra llineal exacta en número racional.

Reducció modular i alçament

Plantilla:Complex El lema original de Hensel es referix a la relació entre la factorización polinòmica en els sancers i en els sancers mòdul un número primo $p$ i les seues potències. Pot estendre's directament al cas a on els número entero són reemplaçats per qualsevol anell conmutativo i $p$ es reemplaça per qualsevol ideal màxim (de fet, els ideals màxims de $\mathbb{Z}$ tenen la forma $p\mathbb{Z}$, a on $p$ és un número primo).

Per a ser precisos es requerix una generalisació de l'aritmètica modular habitual, per lo que és útil definir en precisió la terminologia que s'utilisa comunament en este context.

Siga $R$ un anell conmutativo, i $I$ un ideal de $R$. Reducció mòdul $I$ es referix a la substitució de cada element de $R$ en la seua image baixe el mapa canònic $R\to R/I$. Per eixemple, si $f\in R[X]$ és un polinomis en coeficients en $R$, la seua reducció mòdul $I$, denotada $fmodI$ és el polinomi en $(R/I)[X]=R[X]/IR[X]$ obtingut en reemplaçar els coeficients de $f$ pels de la seua image en $R/I$. Dos polinomis $f$ i $g$ en $R[X]$ són congruents mòdul $I$, denotat $f\equiv g(modI)$ si tenen els mateixos coeficients mòdul $I$, això és si $f-g\in IR[X]$.Si $h\in R[X]$, una factorización de $h$ mòdul $I$ consistix en dos (o més) polinomis $f,g$ en $R[X]$ tal que $h\equiv fg(modI)$.

El procés de elevamiento és l'invers de la reducció. Això és, daus objectes depenents dels elements de $R/I$, el procés de elevamiento reemplaça eixos elements pels elements de $R$ (o de $R/I^k$ per a algun $k>1$) que assigna a ells de manera que conserven les propietats dels objectes. Per eixemple, donat un polinomi $h\in R[X]$ i una factorización mòdul $I$ expressada com $h\equiv fg(modI)$, alçant esta factorización mòdul $I^k$ consistix en trobar polinomis $f^{\prime },g^{\prime }\in R[X]$ tal que $f^{\prime }\equiv f(modI)$, $g^{\prime }\equiv g(modI)$, $h\equiv f^{\prime }{g}^{\prime }({modI}^k)$. El lema de Hensel afirma que tal alçament sempre és possible en certes condicions.

Conceptes relacionats

Compleción d'un anell no és una condició necessària per a que l'anell tinga la propietat Henseliana: Goro Azumaya en 1950 va definir un anell local conmutativo que satisfà la propietat Henseliana per al ideal maximal m siga un anell Henseliano.

Masayoshi Nagata va provar en la década de 1950 que per a qualsevol anell local conmutativo A en ideal maximal m sempre existirà el menor anell A^h que conté a A tal que A^h és Henseliano sobre mA^h. Este A^h és cridat la Henselización de A. Si A és noetheriano, A^h també és noetheriano, i A^h és manifestament algebraic ya que és construït com un llímit d'entorns étale. Açò implica que A^h és usualment molt menor que el completion  mentres manté la propietat Henseliana i es manté en la mateixa categoria.

Bibliografia

• (1995).«Commutative algebra».Springer-Verlag.Berlin, New York:150doi:10.1007/978-1-4612-5350-1.

Vore també

• Teoria de Números
• Lema Lifting the exponent