Congruència (teoria de números)

Congruència és un terme usat en la teoria de números, per a designar que dos número entero $a\text{y}b$ tenen el mateix restant en dividir-los per un número natural $m\ne 0$, cridat mòdul; açò s'expressa utilisant la notació:

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

que s'expressa dient que: $a$ és congruent en $b$ mòdul $m$. D'a on es definix que dos números $a\text{y}b$ són congruents en mòdul $m\ne 0$ «» (sí i solament si) :

• $m$ dividix exactament a la diferència de $a$ i $b$

$m\mid a-b$

o lo que és lo mateix, $a\text{y}b$ deixen el mateix restant en la divisió per $m$. Ademés, també es pot afirmar que:

• $a$ es pot escriure com la suma de $b$ i un múltiple de $m$, puix si: $m\mid a-b$ » (llavors), $mk=a-b$, per a algun $k\in \mathbb{Z}(entonces)a=b+km$

El terme congruència s'utilisa ademés en dos sentits llaugerament diferents: per un costat en el sentit d'identitat matemàtica, com a eixemple d'este us tenim el menuda teorema de Fermat que assegura que per a cada primer $p$ i cada sancer $a$ no divisible per $p$ tenim la congruència:

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Per un atre costat s'utilisa en el sentit d'equació, a on apareixen una o més incògnitas, i nos preguntem si una congruència té solució i en cas afirmatiu quins són totes les seues solucions, per eixemple la congruència $x^2-5\equiv 0(\mathrm{mod}11)$, té solució, i totes les seues solucions vénen donades per $x\equiv 4(\mathrm{mod}11)$ i $x\equiv 7(\mathrm{mod}11)$, és dir $x$ pot ser qualsevol sancer de les successions $11k+4$ i $11k+7$. Contràriament la congruència $x^2-2\equiv 0(\mathrm{mod}11)$, no té solució.

La notació i la relació de terminologia varen ser introduïdes per Carl Friedrich Gauss en el seu llibre Disquisitiones Arithmeticae en 1801. La seua utilisació s'ha estés a molts atres entorns en els que podem parlar de divisibilidad, per eixemple a polinomis en coeficients en un cos, a idealés d'anells de número algebraico, etc.

Propietats

La relació de congruència té moltes propietats en comuna en l'igualtat matemàtica, per citar alguna:

• La congruència per a un mòdul $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ llavors també $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$

1. transitividad: si $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ i $b\equiv c(\mathrm{mod}m)$ llavors també $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$.

• Si $a$ és coprimo en $m$ i $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$, llavors $b$ també és coprimo en $m$.

• Si $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ i $k$ és un sancer llavors també es complix
  • $a\pm k\equiv b\pm k(\mathrm{mod}m)$
  • $ka\equiv kb(\mathrm{mod}m)$
  • $a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}m)k>0$

• Si ademés $k$ és coprimo en $m$, llavors podem trobar un sancer $h^{-1}$, tal que

$k{h}^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

i llavors té perfecte sentit parlar de la divisió i també és cert que

$\frac{a}{k}\equiv \frac{b}{k}(\mathrm{mod}m)$

a on per definició posem $a/k=a{k}^{-1}$.

• Com a conseqüència de lo anterior, si tenim dos congruència en igual mòdul:

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ i $c\equiv d(\mathrm{mod}m)$

podem sumar-les, restar-les o multiplicar-les de manera que també es verifiquen les congruència

$a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}m)$ i $ac\equiv bd(\mathrm{mod}m)$

Vore també

• Aritmètica modular