Raïl d'un polinomi

Eixemple de polinomi de tercer grau en coeficients sancers i tres raïls sanceres (-1, 1 i 2)

En matemàtiques, una raïl d'un polinomi P(X) és un valor α tal que P(α) = 0. Per lo tant, és una solució de l'equació polinòmica P(x) = 0 per a l'incògnita x, o també un zero de la funció polinòmica associada.

Un polinomi distint de zero en coeficients en un determinat cos pot tindre raïls solament en un cos «més gran», pero mai té un número de raïls major que el seu grau. Per eixemple (X² - 2 = 0), que és de grau 2 i en coeficients racionals, no té raïls racionals, pero té dos raïls en els número real ℝ (i per lo tant, també en els número complejo ℂ). El teorema fonamental de l'àlgebra indica que qualsevol polinomi de grau n en coeficients complexos admet n raïls complexes (no necessàriament distintes).

La noció de raïl es generalisa, baix el nom de zero, a un polinomi de vàries variables.

Definicions

Considere's un polinomi P(X) en una variable denotada com aX, en coeficients en un cos o més generalment en un anell conmutativo A (els coeficients poden per lo tant pertànyer a un subanillo).

Definició

Definició de raïl: Una raïl en A del polinomi P és un element α de A tal que, si se substituïx la variable X pel valor α, s'obté una expressió nula en A.

Aixina, el polinomi (X² - 2 = 0), en coeficients en ℚ (i per lo tant, també en ℝ o ℂ), no té cap raïl en ℚ pero té dos en ℝ (Plantilla:Raïl i –Plantilla:Raïl) (i per lo tant, també en ℂ). De fet, si se substituïx Plantilla:Raïl o –Plantilla:Raïl per X en el polinomi, s'obté 0.

Etimologia: El terme raïl prové de les traduccions llatines de Robert de Chester i Gerardo de Cremona del terme gizr. La paraula gizr significa 'raïl', i es traduïx al llatí com radix. El terme gizr és utilisat pel matemàtic d'orige persa de el VIII Al-Juarismi, en el seu tractat Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, obra que es va ocupar per primera volta de forma exhaustiva del càlcul de les raïls reals de l'equació de segon grau.

Definició alternativa

Definició equivalent: Una raïl en A del polinomi P és un element α de A tal que P(X) és divisible per (X – α) (dins de A[X]).

De fet, si P(X) = (X - α) Q(X), llavors P(α) = 0 i viceversa, si P(α) = 0 llavors P(X) és igual a P(X) - P(α), combinació llineal de polinomis de la forma X^k - α^k, tots divisibles per X – α.

En l'eixemple elegit, l'igualtat:

$X^2-2=(X-\sqrt{2})(X-(-\sqrt{2}))$

és una atra forma de denotar que Plantilla:Raïl i –Plantilla:Raïl són de fet les dos raïls del polinomi.

Definicions relacionades

El simple fet de que el polinomi (X - α) siga unitari permet (sense necessitat d'assumir l'integritat en A) definir les següents nocions:

El polinomi (X² - 2) és separable, és dir, no té raïls múltiples. Ademés, es dividix en ℝ, en el següent sentit:

Polinomi dividit: Si P és el producte de polinomis de primer grau en coeficients en un cos L, es diu que el polinomi P està dividit sobre L.

P és llavors distint de zero, i el seu coeficient dominant és el producte dels coeficients dominants d'estos polinomis de primer grau. De manera més general, es diu que un polinomi distint de zero de L[X] es dividix en L si és el producte d'una constant i un producte (que pot ser buit) de polinomis unitaris de primer grau. Tal descomposició és llavors única: cada terme constant d'un d'estos polinomis unitaris de primer grau és igual a l'opost d'una raïl de P en L, i si esta raïl és d'orde m, este factor es repetix m voltes. Per lo tant, el número d'estos factors és igual al grau de P.

Existència de raïls

Qualsevol equació polinòmica real de grau impar admet a lo manco una solució real.

Est és una aplicació del teorema del valor intermig.

Artícul principal → Cos de descomposició.

Siga K un cos conmutativo i P un polinomi en una variable i en coeficients en K.

Una extensió de K és un cos que conté a K; per tant, ℝ i ℂ són extensions de ℚ.

Sorgix una pregunta natural: si L₁ i L₂ són dos extensions de K en les que es dividix P, les raïls, vistes com a elements de L₁, ¿són "equivalents" a les raïls vistes com a elements de L₂? Esta equivalència existix: existix en L₁ una sub-extensió "més menuda", cridada cos de descomposició de P, que conté totes les raïls de P, i igualment en L₂ , i estes dos sub-extensions de K són idèntiques. En l'eixemple K = ℚ, P = X² - 2, este cos de descomposició és el conjunt de números de la forma a + b Plantilla:Raïl, a on a i b són número racional. Este conjunt està identificat (per un isomorfisme no únic) en un cos únic de ℝ i del cos _ℚ de número algebraico. Aixina, el parell de raïls (Plantilla:Raïl, –Plantilla:Raïl) inclós en ℝ pot considerar-se idèntic a l'inclós en _ℚ.

Existència de raïls: Existix una extensió més chicoteta L de K, única llevat isomorfismes, tal que P es pot dividir en L. L'extensió L es diu cos de descomposició des de P sobre K.

El cos L és tal que el polinomi P està dividit; per un atre costat, atres polinomis en coeficients en K no necessàriament es dividixen en L. A fortiori, un polinomi en coeficients en L tampoc es dividix necessàriament en L. Es diu que un cos L és algebraicamente tancat si tot polinomi en coeficients en L es dividix en L.

Existència d'una clausura algebraica: Existix una extensió menor algebraicamente tancada de K, única (llevat isomorfismes). L'extensió L es diu clausura algebraica de K.

El cos ℂ està algebraicamente tancat, un resultat conegut com teorema fonamental de l'àlgebra. El tancament algebraic de ℝ és ℂ. El de ℚ és el subcuerpo _ℚ.

Vore també

• Raïl d'un polinomi real o complex
• Incògnita
• Solucions complexes d'equacions polinòmiques en coeficients reals
• Equació algebraica
  • Equació de segon grau
• Funció polinòmica
• Método de Muller
• Teorema de Rouché

Enllaços externs

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtiques|20px|Vore el portal sobre Matemàtiques]] Portal:Matemàtiques. Contingut relacionat en Matemàtiques.
• Raïls completes d'un polinomi en coeficients sancers en gecif.net