Raïl quadrada de dos

Raïl quadrada de dos

La raïl quadrada de 2 es definix com l'únic número real positiu tal que, multiplicat per sí mateixa, és igual a 2. El seu resultat no és periòdic, puix no apareix en cap cas un periodo com en els número racional. La notació tradicional, utilisant el símbol de radicació és $\sqrt{2}$; amprant la notació de potencies: $2^{\frac{1}{2}}$. La raïl quadrada de 2 és un número irracional (més encara, és algebraic de grau 2), el seu valor numèric és aproximadament 1,4, i truncada en 100 dígits decimals s'obté:

$\sqrt{2}=1,414213562373095048801$ $688724209$ $698078569$ $671875376$ $948073176$ $679737990$ $732478462$ $107038850$ $387534327$ $641572\dots$

Plantilla:Raïl equival a la llongitut de la hipotenusa d'un triàngul rectàngul i isósceles que els seus catetos tenen una llongitut igual a l'unitat.

Representació numèrica de Plantilla:Raïl.

La raïl quadrada de 2 va ser possiblement el primer número irracional conegut. Geomètricament equival a la llongitut de la diagonal d'un quadrat el costat del qual és igual a l'unitat, la qual cosa es comprova aplicant el teorema de Pitágoras, també coneguda com a constant pitagórico.^{cita requerida} La raïl quadrada de 2 no és un número racional. Pero satisfà l'equació de segon grau en una incògnita de coeficients racionals:

Este número té numeroses aplicacions en la vida corrent:

• Els fulls de paper en format internacional (ISO 216) estan en proporció llarc/ample igual a $\sqrt{2}$; aixina, en doblar-les per la mitat s'obté un rectàngul de les mateixes proporcions que el rectàngul original.
• En música, la raó de freqüències de la quarta aumentada de la gama temperada val $\sqrt{2}$.
• En electricitat, la màxima tensió de la corrent alterna monofásica val $\sqrt{2}$ del valor eficaç indicat (generalment 110 o 220 volts).
• En fotografia, la successió de valors d'obertura del diafragma són els valors aproximats d'una progressió geomètrica de raó $\sqrt{2}$.

Història

La taula babilònica YBC 7289 (c. 2000-1650 a. C.) proporciona una aproximació de $\sqrt{2}$ en 4 dígits sexagesimals, que és similar a sis sifres decimals:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1,41421\overline{296}$.

Una atra aproximació antiga a este número irracional es dona en l'antiga Índia, en el text matemàtic Baudhaiana-sulba-sutra (entre el 600 i el 300 a. C.), dient: incrementa la llongitut (del costat) per la seua tercera part, i la seua tercera per les seues tres quartes i la seua tercera per la seua trenta i cuatroava part de quatre. Açò és:

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1,414215686$.

L'aparició de $\sqrt{2}$ va respondre al problema de voler calcular la llongitut de la diagonal d'un quadrat el costat del qual medix 1 (unitat de llongitut), que, per al criteri del moment, no va encaixar per no expressar-se com a raó de dos número entero. El seu sorgiment es vincula més a la geometria que a l'aritmètica. Posteriorment, des de la visió algebraica, esta raïl quadrada satisfà l'equació $x^2-2=0$.

El descobriment de la raïl quadrada de 2 com un número irracional s'atribuïx generalment al pitagórico Hipaso de Metaponto, qui va anar el primer en produir la demostració de l'irracionalitat utilisant geometria. L'història narra que precisament va descobrir l'irracionalitat de la raïl de 2 quan intentava averiguar una expressió racional del mateix. No obstant Pitágoras creïa en la definició absoluta dels números com a mida, i açò li obligava a no creure en l'existència dels número irracional. Per esta raó, estant ya des del principi en contra d'eixa demostració, els seus companyers pitagórico varen sentenciar a Hipaso a la pena capital, ofegant-li en l'mar.

El matemàtic grec Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) proponia el problema de trobar el costat d'un quadrat l'àrea del qual siga el doble de l'àrea d'un quadrat de costat $m$. La solució Del qual comporta l'aparició de la raïl quadrada de dos.

Algoritme computacional

Existixen molts algoritmes amprats per a l'aproximació de raïl quadrada de 2. El més comú dels algoritmes per a averiguar una aproximació en computadors o calculadores és el denominat método babilònic de càlcul de les raïls quadrades, sent este un dels molts empleats per al càlcul de raïls quadrades. Funciona com seguix:

Es pren en primer lloc un valor arbitrari, que denominem, $a_0$; esta primera aproximació importa poc, és considerada solament com un punt de començ de l'algoritme i afecta en quantes iteraciones deu fer l'algoritme fins a alcançar l'aproximació en una precisió requerida. Llavors, amprant esta suposició inicial, es procedix a iterar per mig de la següent còmput recursivo:

$a_n=\{\begin{array}{c}{a}_0=1\\ a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}})\end{array}$

Quantes més iteraciones es facen per mig d'este algoritme (és dir més càlculs en un valor de n gran), s'obtindrà una millor aproximació del valor real de raïl quadrada de 2.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\sqrt{2}$

El valor de $\sqrt{2}$ ha segut calculat fins a 137 438 953 444 posicions decimals per l'equip de Yasumasa Kanada en l'any 1997. Entre les constants matemàtiques en sifres no periòdiques, solament π ha segut calculat en major precisió.

Una possible implementació en Scilab podria ser:

   disp('Aproximacions a raïl de dos');
   i=0;  // indice contador
   a=0;  // valor de 'a' anterior
   ai=1; // valor de 'a' actual, ai>0.
   disp(['i','raïl de dos'])
   disp([i,ai]);
   while (abs(a-ai)>1i-6)
       i=i+1;
       a=ai;
       ai=(a+2/a)/2;
       disp([i,ai]);
   end

Que presenta les cinc primera iteraciones del següent modo:

 "Aproximacions a raïl de dos"
 "i"  "raïl de dos"
  0.   1.
  1.   1.5
  2.   1.4166667
  3.   1.4142157
  4.   1.4142136
  5.   1.4142136

Si inicializamos ai=70 tindrem:

   disp('Aproximacions a raïl de dos');
   i=0;  // indice contador
   a=0;  // valor de 'a' anterior
   ai=70; // valor de 'a' actual, ai>0.
   disp(['i','raïl de dos'])
   disp([i,ai]);
   while (abs(a-ai)>1i-6)
       i=i+1;
       a=ai;
       ai=(a+2/a)/2;
       disp([i,ai]);
   end

Que donarà com a resultat:

"Aproximacions a raïl de dos"

 "i"  "raïl de dos"
  0.   70.
  1.   35.014286
  2.   17.535703
  3.   8.8248778
  4.   4.5257549
  5.   2.4838351
  6.   1.6445208
  7.   1.4303403
  8.   1.4143045
  9.   1.4142136
  10.   1.4142136

Per a tot valor inicial, major que zero, la successió sempre tendix a raïl de dos.

Vore també

• La raïl quadrada de dos és el cocient d'aspecte del Format de paperés baix ISO 216.
• Raïl quadrada de 3
• Raïl quadrada de 5
• Rectàngul RR

Referències

Bibliografia

• Flannery, David (2005). The Square Root of Two, Springer. ISBN 0-387-20220-X.
• 25(4)

366-378.

• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: Plantilla:Raïl. Inclou informació de com calcular dígits de Plantilla:Raïl.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra
• Pythagoras's Constant en MathWorld.