Llímit invers

En matemàtiques, el llímit invers (també cridat llímit proyectivo) és una construcció que permet "pegar" varis objectes relacionats, la manera precisa del procés de pegat és especificada per mig de morfismos entre els objectes. Es poden definir llímits inversos en qualsevol categoria, pero inicialment considerarem sol llímits inversos de grups.

Definició formal

Objectes algebraics

A continuació es presenten una série de definicions que seran utilisades després: invers (o proyectivo) sistema de grups i homomorfismes. Siga (I, ≤) un poset dirigit (encara que no tots els autors requerixen que I siga dirigit). Siga (A_i)_i∈I una família de grups i supongam que es té una família d'homomorfismes f_ij : A_j → A_i per a tot i ≤ j (notar l'orde) en les següents propietats:

f_ii és l'identitat en A_i,
f_ik = f_ij O f_jk per a tot i ≤ j ≤ k.

Llavors els conjunts de parells (A_i, f_ij) és cridat un sistema invers de grups i morfismos sobre I.

Definim al llímit invers del sistema invers (A_i, f_ij) com un subgrup particular del producte directe de cada A_i:

\lim_{\leftarrow} A_{i} = {(a_{i}) \in \prod_{i \in I} A_{i} | a_{i} = f_{i j} (a_{j}) para todo i \leq j}

El llímit invers, A, posseïx proyeccions naturals π_i : A → A_i que prenen la component iésima del producte directe. El llímit invers i les proyeccions naturals satisfan una propietat universal descrita en la pròxima secció.

Esta mateixa construcció pot ser realisada si els A_i's són conjunts, anells, mòduls (sobre un anell fix), àlgebra (sobre un camp fix), etc., i els homomorfismes són homomorfismes en la categoria corresponent. El llímit invers també pertanydrà a eixa categoria.

Definició general

El llímit invers pot ser definit en forma abstracta en una categoria arbitrària per mig d'una propietat universal. Siga (X_i, f_ij) un sistema invers d'objectes i morfismos en una categoria C (en la mateixa definició indicada prèviament). El llímit invers d'este sistema és un objecte X en C junt en morfismos π_i : X → X_i (cridades proyeccions) que satisfan π_i = f_ij O π_j . El parell (X, π_i) deu ser universal en el sentit que para tot un atre parell del tipo (I, ψ_i) existix un únic morfismo o : I → X que fa que totes les identitats "òbvies" siguen verdaderes; o siga el diagrama.

Archiu:InverseLimit-01.png

Llímit invers.

deu commutar para tot i, j. El llímit invers és per lo general indicat com

X = \lim_{\leftarrow} X_{i}

a on s'entén que posseïx un sistema invers (X_i, f_ij).

Al contrari de lo que succeïx per a objectes algebraics, pot ser que el llímit invers no existixca en una categoria arbitrària. Pero, si és que existix, llavors és únic en un sentit estricte: donat un atre llímit invers X′ existix un únic isomorfisme X′ → X que commuta en els mapes de proyecció.

És de notar que un sistema invers en la categoria C admet una descripció alternativa per mig de functors. Tot conjunt parcialment ordenat I pot ser considerat com una categoria menuda a on els morfismos són fleches i → j ssi i ≤ j. Un sistema invers és llavors el functor contravariante I → C.

Eixemples

L'anell dels sancers p-ádicos és el llímit invers dels anells Z/pⁿZ (vore aritmètica modular), sent el conjunt índex els número natural en la seua orde usual, i els morfismos "take remainder". La topología natural en els sancers p-ádicos és la mateixa que la que es descriu ací.
Els grups profinitos es definixen com a llímits inversos dels grups finitos (discrets).
Siga I el conjunt índex d'un sistema invers (X_i, f_ij) l'element major del qual és m. Llavors la proyecció natural π_m : X → X_m és un isomorfisme.
Els llímits inversos en la categoria d'espais topològics s'obtenen per mig de l'ubicació de la topología inicial, sent fonamental en els conjunts teòrics de llímits inversos. Açò es coneix en el nom de topología de llímit.
Siga (I, =) l'orde trivial (no dirigit). El llímit invers de tot sistema invers corresponent és el producte.
Siga I que consistix de tres elements i, j, i k en i ≤ j i i ≤ k (no directes). El llímit invers de qualsevol sistema invers de correspondència és el producte fibrado.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Límite inverso» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.