Llímit directe

En matemàtica, un llímit directe (també cridat llímit inductivo) és un colímite d'una "família directa d'objectes". De manera general, s'expondrà primer la definició per a estructures algebraiques com grups i mòduls, i després la definició general, la qual pot ser usada en qualsevol categoria.

Definició formal

Objectes algebraics

En esta secció els objectes poden ser entesos com conjunts en una estructura algebraica donada com poden ser grups, anells, mòduls (sobre algun anell fixat), àlgebra (sobre un cos fixat), etc. En açò en ment, els homomorfismes són entesos en el corresponent marc (homomorfismes de grups, etc.).

Es comença en la definició d'un sistema directe d'objectes i homomorfismes. Siga $⟨ I, \leq ⟩$ un conjunt direccionar. Siga ${A_{i} : i \in I}$ una família d'objectes indexats per $I$ i $f_{i j} : A_{i} \to A_{j}$ és un homomorfisme per a tot $i \leq j$ en les següents propietats:

$f_{i i}$ és l'identitat de $A_{i}$ , i
$f_{i k} = f_{j k} \circ f_{i j}$ para tot $i \leq j \leq k$ .

Llavors el parell $⟨ A_{i}, f_{i j} ⟩$ es diu sistema directe sobre $I$ .

El conjunt subjacent del llímit directe, $A$ , del sistema directe $⟨ A_{i}, f_{i j} ⟩$ es definix com l'unió disjunta de $A_{i}$ 's mòdul una certa relació d'equivalència $\sim$ :

\lim_{\to} A_{i} = ⨆_{i} A_{i} / \sim .

Ací, si $x_{i} \in A_{i}$ i $x_{j} \in A_{j}$ , $x_{i} \sim x_{j}$ si hi ha algun $k \in I$ tal que $f_{i k} (x_{i}) = f_{j k} (x_{j})$ . Heurísticament, dos elements d'un conjunt disjunto són equivalents si i solament si "eventualment es tornen iguals" en el sistema directe. Una formulació equivalent que destaca la dualitat en el llímit invers és que un element és equivalent a totes les seues imàgens baix els morfismos d'un sistema direccionar , i.i. $x_{i} \sim f_{i k} (x_{i})$ .

S'obté naturalment d'açò la definició morfismos canònics $ϕ_{i} : A_{i} \to A$ enviant a cada element a la seua classe d'equivalència. Les operacions algebraiques sobre $A$ són definides a eixos morfismos de manera òbvia.

Una propietat important és que prendre llímits directes en la categoria de mòduls és un funtor exacte.

Llímit directe sobre un sistema directe en una categoria

El llímit directe pot ser definit en una categoria arbitrària $𝒞$ per mig d'una propietat universal. Siga $⟨ X_{i}, f_{i j} ⟩$ un sistema directe d'objectes i morfismos en $𝒞$ (la mateixa definició que anteriorment). El llímit directe d'este sistema és un objecte $X$ en $𝒞$ junt en morfismos $ϕ_{i} : X_{i} \to X$ que satisfan $ϕ_{i} = ϕ_{j} \circ f_{i j}$ . El parell $⟨ X, ϕ_{i} ⟩$ deu ser universal en el sentit que per a qualsevol atre parell de $⟨ Y, ψ_{i} ⟩$ existix un únic morfismo $u : X \to Y$ que realisa que el diagrama

commute para tot i, j. El llímit directe és a sovint denotat com

X = \lim_{\to} X_{i}

en el sistema directe, $⟨ X_{i}, f_{i j} ⟩$ , s'entén.

A diferència dels objectes algebraics, el llímit directe no pot existir en una categoria algebraica. No obstant, si ho fa, és únic en un sentit fort: donat un atre llímit directe X′ existix un únic isomorfisme X′ → X commutant en els morfismos canònics.

Note's que un sistema directe en una categoria $𝒞$ admet una descripció alternativa en térmens de funtorés. qualsevol conjunt parcialment ordenat direccionar $⟨ I, \leq ⟩$ pot ser considerat com una categoria menuda $ℐ$ a on els morfismos consistixen en fleches $i \to j$ si i solament si $i \leq j$ . Un sistema directe llavors és justament un funtor covariant $ℐ \to 𝒞$ .

Definició general

Sean $ℐ$ i $𝒞$ categories. Siga $c_{X} : ℐ \to 𝒞$ un funtor constant per a algun objecte fixat $X \in 𝒞$ . Es definix per a cada funtor $F : ℐ \to 𝒞$ el funtor

\lim_{⟶} F : 𝒞 \to 𝐒 𝐞 𝐭

el qual assigna a cada $X \in 𝒞$ el conjunt $H o m (F, c_{X})$ de transformacions naturals de F a $c_{X}$ . Si $\lim_{⟶} F$ és representable, l'objecte que es representa en $𝒞$ és cridat llímit directe de F i també es denota com $\lim_{⟶} F$ .

Si $𝒞$ és una categoria abeliana, llavors sumixques directes arbitràries (i també infinites) d'objectes existixen (est és l'axioma de Grothediecks AB3). Després $\lim_{⟶} F$ és representable per a cada funtor $F : ℐ \to 𝒞$ i

\lim_{⟶} : H o m (ℐ, 𝒞) \to 𝒞, F \mapsto \lim_{⟶} F

és un funtor aditiu exacte dret de categories abelianas.

Eixemples

Una colecció de subconjunts $M_{i}$ d'un conjunt M pot ser parcialment ordenat per inclusió. Si la colecció és direccionar, el seu llímit directe és l'unió $⋃ M_{i}$ .
Siga I qualsevol conjunt direccionar en un element major m. El llímit directe de qualsevol dels sistemes directes corresponents és isomorfo a Xm i al morfismo canònic φm: Xm → X és un isomorfisme.
Siga p un número primo. Considere's el sistema directe compost dels grups Z/pⁿZ i dels homomorfismes Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z els quals s'induïxen per la multiplicació per p. El llímit directe d'este sistema consistix en totes les raïls de l'unitat d'orde alguna potència de p, i és cridat com grup de Prüfer Z(p^∞).
Siga F un fes C-evaluat sobre un espai topològic X. Fixe's un punt x en X. L'entorn obert x forma un poset ordenat per inclusió (O ≤ V si i solament si Oconté a V). El sistema directe corresponent és (F(O), r_O,V) a on r és el mapa de restricció. El llímit directe en este sistema és cridat talle de F en x, denotat com a F_x. Per a cada entorn O de x, el morfismo canònic F(O) → F_x associa a la secció s de F sobre O un element s_x del talle F_x cridat germen de s en x.
Els llímits directes en la Categoria d'espais topològics vénen daus per mig de la colocació de la topología final sobre el llímit directe subjacent de teoria de conjunts.
Els llímits inductivos són enllaçats en els proyectivos per mig de

H o m (\lim_{\to} X_{i}, Y) = \lim_{\leftarrow} H o m (X_{i}, Y) .

Considere's la successió {A_n, φ_n} a on A_n és una C*-àlgebra i φ_n : A_n → A_{n + 1} és un *-homomorfisme. El C*-anàlec de la construcció de llímit directe proporciona una C*-àlgebra que satisfà la propietat universal anterior.

Vore també

Referències

Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»..
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»..

Este artícul conté una traducció derivada de «Límite directo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.