Grup de Prüfer

Archiu:Grupo de Prüfer p-2 (texto).svg

El 2-grup de Prüfer. <g_n: g_n+1² = g_n, g₁² = 1>

En matemàtiques, i en especial en teoria de grups, el p-grup de Prüfer, grup p-cuasicíclico o el p^∞-grup, Z(p^∞), per a un número primo p és l'únic p-grup en el que cada element té p p-ésimas raïls. El grup es diu en honor a Heinz Prüfer. És un grup abeliano numerable que juga un important paper en la classificació de grups abelianos infinits.

El p-grup de Prüfer pot ser representat com un subgrup del grup circular, O(1), com el conjunt de les pⁿésimas raïls de l'unitat en n que s'estén sobre tots els sancers no negatius:

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=\{\exp (2\pi im/p^n)\mid m\in {𝐙}^{+},n\in {𝐙}^{+}\}.$

Alternativament, el p-grup de Prüfer pot ser vist com el p-subgrup de Sylow de Q/Z, que consistix en aquells elements l'orde dels quals és una potència de p:

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=𝐙[1/p]/𝐙.$

Hi ha una presentation (escrita aditivamente)

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=⟨x_1,x_2,\dots |p{x}_1=0,p{x}_2=x_1,p{x}_3=x_2,\dots ⟩.$

El p-grup de Prüfer és l'únic p-grup infinit que és localment cíclico (cada conjunt finito d'elements genera un grup cíclico).

El p-grup Prüfer és divisible.

En el llenguage del àlgebra universal, un grup abeliano és subdirectamente irreducible si i només si este és isomorfo a un p-grup finito o isomorfo a un grup de Prüfer.

En la teoria de grups topològics localment compactes el p-grup de Prüfer (dotat en la topología discreta) és el dual de Pontryagin del grup compacte dels sancers p-ádicos, i el grup de sancers p-ádicos és el dual de Pontryagin dual del p-grup de Prüfer.

Els p-grups de Prüfer per a tots els primers p són els únics grups infinits els subgrups dels quals són totalment ordenats per inclusió. Com no hi ha un subgrup màxim d'un p-grup de Prüfer, este és el seu propi subgrup de Frattini.

$0\subset 𝐙/p\subset 𝐙/p^2\subset 𝐙/p^3\subset \cdots \subset 𝐙(p^{\mathrm{\infty }})$

Esta successió d'inclusions expressa al p-grup de Prüfer com el llímit directe dels seus subgrups finitos.

Com un $𝐙$-mòdul, el p-grup de Prüfer és artiniano, pero no noetheriano, i de la mateixa manera, com a grup, és artiniano pero no noetheriano. Per lo tant, es pot utilisar com un contraeixemple en contra de l'idea de que cada mòdul artiniano és noetheriano (considerant que tot anell artiniano és noetheriano).

Vore també

• Sancers p-ádicos, els quals poden definir-se com el llímit invers dels subgrups finitos del p-grup de Prüfer.
• Fracció diàdica, número racional de la forma a/2^b. El 2-grup de Prüfer pot ser vist com les fraccions diàdiques mòdul 1.

Referències

• Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra, Springer. ISBN 9780387715674.
• Plantilla:Planetmath reference
• Plantilla:Springer