Grup circular

Grup circular

El grup circular, representat per $S^1$, és el grup multiplicativo format pels número complex ubicats sobre la circumferència unitat $S^1$ del pla complex, és dir, els número complex que el seu valor absolut és 1. En símbols,

$S^1=\{z\in ℂ:|z|=1\}$,

en l'operació de grup la multiplicació de número complex. ya que el producte de número complex és conmutativo, es tracta d'un grup abeliano.

La multiplicació de dos número complex $z_1=e^{i{\theta }_1}$ i $z_2=e^{i{\theta }_2}$ és el número complex $z_1{z}_2=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$.

Tot element de $S^1$ és de la forma $e^{i\theta }$, en i la base del logaritme natural, i l'unitat imaginària i θ un número real qualsevol. Esta caracterisació dels elements de $S^1$ fa manifesta l'interpretació geomètrica del seu producte, puix $e^{i{\theta }_1}\cdot e^{i{\theta }_2}=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$, lo que mostra que el producte d'elements de $S^1$ equival a una rotació respecte de l'orige del pla complex.

El grup circular és un subgrup del grup multiplicativo dels número complex no nuls, ${ℂ}^{*}=\{z\in ℂ:z\ne 0\}$. Un resultat interessant és que, de fet, els grups multiplicativos $S^1$ i ${ℂ}^{*}$ són isomorfos.

Una forma equivalent de definir al grup circular és com el grup multiplicativo de les matrius unitàries complexes de $1\times 1$, representat per $\mathrm{U}(1)$.

Propietats

És un fet bàsic que este grup pot ser representat linealmente per mig de matrius ortogonals:

en estos objectes el conjunt rep el símbol $\mathrm{U}(1)$ també conegut com grup especial unitari, matrius sobre els complexos de determinant igual a 1 i que la seua matriu inversa (invers multiplicativo) és el seu transpuesta. Açò és per ser matrius de $1\times 1$ d'entrada complexa

$e^{i\theta }\cong \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right]$

ací el sentit de l'equivalència és d'isomorfisme de grups continus. El símbol $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ representa el conjunt d'estes matrius de $2\times 2$ que el seu determinant és igual a un ($\mathrm{S}\mathrm{O}(2):=\{A\in {ℳ}_{2\times 2}(ℝ):\det (A)=1\}$). El conjunt $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ també és isomorfo a $\mathrm{U}(1)$.

Referències

• Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]