Mòdul noetheriano

En àlgebra, un mòdul noetheriano^[1] és un mòdul que satisfà la condició de la cadena ascendent en els seus submòduls, els quals formen un orde parcial per inclusions. Equivalentement, els submòduls d'un mòdul noetheriano són finitamente generats, òbviament inclós ell mateixa.

El primer matemàtic que va treballar en les propietats de submòduls finitamente generats va ser el matemàtic alemà David Hilbert. A ell es deu el conegut teorema de la base que diu que qualsevol ideal d'un anell polinomial sobre un camp arbitrari és finitamente generat. No obstant, la propietat és atribuïda a la matemàtica alemana Emmy Noether, qui va anar la primera en descobrir l'importància de la mateixa.

Caracterisació

En l'us del axioma d'elecció, un mòdul $M$ és noetheriano si satisfà les següents condicions equivalents:

$M$ vaig satisfer la condició de la cadena ascendent en els seus submòduls.

Qualsevol conjunt $S$ no buit de submòduls de $M$ té un element màxim, ordenats baix inclusió. És dir, $M$ conté un submòdul $M_{0}$ tal que para tot element $N$ de $S$ que continga $M_{0}$ tenim que $N = M_{0}$ . Tots els submòduls de $M$ són finitamente generats.

Eixemples

Tot anell $R$ noetheriano és un mòdul noetheriano sobre ell mateixa. Per eixemple, els número entero considerats com un $ℤ$ -mòdul. En general si $R$ és un anell noetheriano i $M$ és un mòdul finitamente generat, llavors $M$ és noetheriano. Si $R = M_{n} (K)$ és l'anell de les matrius sobre un camp $K$ , i $M = M_{n \times 1} (K)$ és el conjunt dels vectores columna sobre $K$ , llavors $M$ és un $R$ -mòdul en la multiplicació de matrius. Este mòdul és noetheriano. Tot mòdul en un número finit d'elements és noetheriano. Tot mòdul dret finitamente generat sobre un anell noetheriano és un mòdul noetheriano. En particular, la teorema de la base de Hilbert nos diu que l'anell de polinomis de $n$ -variables en coeficients en un anell noetheriano és un mòdul noetheriano sobre l'anell.

Referències

↑ P. B. Bhattacharya, S. K. Jain, S. R. Nagpaul (1994). Basic Abstract Algebra, Cambridge University Press, pp. 389 de 487. ISBN 9780521466295.

Bibliografia

F.W. Anderson i K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2.ª Ed., Springer-Verlag, New York, 1992
S. Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 211, 3.ª Ed., Springer-Verlag, New York, 2002

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Módulo noetheriano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[PBBSKJSRN-1] P. B. Bhattacharya, S. K. Jain, S. R. Nagpaul (1994). Basic Abstract Algebra, Cambridge University Press, pp. 389 de 487. ISBN 9780521466295.

[1]