Grup localment compacte

En matemàtiques, un grup localment compacte és un grup topològic G la topología subjacent de la qual és localment compacta i d'Hausdorff. Els grups localment compactes són importants perque molts eixemples de grups que sorgixen en matemàtiques són localment compactes i dits grups tenen un mida natural cridada mida de Haar. Açò permet definir l'integració de funcions mesurables de Borel en G per a que es puguen generalisar nocions d'anàlisis estàndar com la transformada de Fourier i els espais $L^p$.

Molts dels resultats en la teoria de la representació de grups finitos es proven promediando el grup. Per a grups compactes, les modificacions d'estes proves tiren resultats similars al promediar sobre la mida de Haar normalisada. En l'entorn general localment compacte, tals tècniques no tenen per qué ser vàlides. La teoria resultant és una part central del anàlisis harmònic. La teoria de representació de grups abelianos localment compactes és descrita per la dualitat de Pontriaguin.

Eixemples i contraeixemples

• Qualsevol grup compacte és localment compacte.
  • En particular, el grup circular T de número complex de mòdul unitari baix la multiplicació és compacte i, per lo tant, localment compacte. Històricament, el grup circular va servir com el primer grup topológicamente no trivial que també tenia la propietat de compacidad local i, com a tal, va motivar la busca de la teoria més general que es presenta ací.
• Qualsevol grup discret és localment compacte. Per lo tant, la teoria de grups localment compactes comprén la teoria dels grups ordinaris, ya que a qualsevol grup se li pot associar la topología discreta.
• Els grups de Lie, que són localment euclídeos, són tots grups localment compactes.
• Un espai vectorial topològic de Hausdorff és localment compacte si i solament si és de dimensió finita.
• El grup aditiu dels número racional Q no és localment compacte si se li dona la topología traça com un subconjunt dels número real. Pero sí és localment compacte si se li dona la topología discreta.
• El grup aditiu dels números p-ádicos Q_p és localment compacte per a qualsevol número primo p.

Propietats

Per homogeneïtat, la compacidad local de l'espai subjacent per a un grup topològic solament necessita verificar-se en l'identitat. És dir, un grup G és un espai localment compacte si i solament si l'element identitat posseïx un entorn compacte. D'això es deduïx que existix una base d'entorns formada per entorns compactes en cada punt.

Un grup topològic és de Hausdorff si i solament si el subgrup trivial d'un element és tancat.

Cada subgrup tancat d'un grup localment compacte és localment compacte (la condició de tancament és necessària com ho demostra el grup dels número racional). Pel contrari, tot subgrup localment compacte d'un grup de Hausdorff és tancat. Cada cocient d'un grup localment compacte és localment compacte. El producte d'una família de grups localment compactes és localment compacte si i solament si tots els factors, llevat un número finit, són realment compactes.

Els grups topològics són sempre completament regulars com a espais topològics. Els grups localment compactes tenen la propietat més forta de ser normals.

Cada grup localment compacte que satisfà el primer axioma de numerabilidad és un metrisable com a grup topològic (és dir, se li pot donar una mètrica invariante per l'esquerra compatible en la topología) i complet. Si ademés l'espai complix el segon axioma de numerabilidad, es pot elegir que la mètrica siga pròpia (consulte's l'artícul sobre grups topològics).

En un grup polac G, la σ-àlgebra de conjunts nuls de Haar satisfà la condició de cadena contable si i solament si G és localment compacte.

Bibliografia

• (2017).«A K-theoretic approach to Artin maps».

Llectura adicional

• (1995).«A Course in Abstract Harmonic Analysis».CRC Press..
• Pontri︠a︡gin, Lev Semenovich. Topological groups, Princeton University Press. OCLC 65707155.
• Weil, Andr´i. L'int´egration dans els groupes topologiques et ses applications (en francés), Paris: Hermann. OCLC 490312990.
• (1955) Topological transformation groups, Interscience Publishers. OCLC 1019833944. ISBN 978-0-486-82449-9.
• “Abstract Harmonic Analysis” . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften I (115). doi:10.1007/978-3-662-26755-4. ISSN 0072-7830.
• Tao, Terence. Hilbert's Fifth Problem and Related Topics (vol. 153), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/153. ISBN 978-1-4704-1564-8.
• Tao, Terence. Notes on local groups, What's new.