Condició de cadena contable

En la teoria de l'orde, es diu que un conjunt parcialment ordenat X satisfà la condició de cadena contable , o que és ccc, si cada anticadena forta en X és contable (numerable).

Descripció

En realitat, hi ha dos condicions: les condicions contables de la cadena "cap a dalt" i "cap a avall". Estos no són equivalents. La condició de cadena contable significa la condició de cadena contable cap a avall, en atres paraules, no hi ha dos elements que tinguen un llímit inferior comú.

Açò es diu la "condició de cadena contable" en lloc del terme més llògic "condició anticadena contable" per raons històriques relacionades en certes cadenes de conjunts oberts en espais topològics i cadenes en àlgebra booleanas completes, a on les condicions de cadena a voltes resulten ser equivalents a les condicions anticadena. Per eixemple, si κ és un cardinal, llavors en un àlgebra booleana completa cada anticadena té un tamany menor que κ si i solament si no hi ha una seqüència κ descendent d'elements, per lo que les condicions de cadena són equivalents a les condicions anticadena.

Els órdens parcials i els espais que satisfan el CCC s'utilisen en la declaració del axioma de Martin.

En la teoria del forçament, els órdens parcials ccc s'usen perque forçar en qualsevol conjunt genèric sobre tal orde preserva cardinals i cofinalidades. Ademés, la propietat ccc es conserva per mig de iteraciones de soport finitas (consulte forçament iterado). Per a obtindre més informació sobre ccc en el context del forçament.

Més en general, si κ és un cardinal, llavors es diu que un poset satisfà la condició de κ-cadena si cada anticadena té un tamany menor que κ. La condició de cadena contable és la condició א₁-cadena.

Eixemples i propietats en topología

Es diu que un espai topològic satisfà la condició de cadena contable, o condició de Suslin, si el conjunt parcialment ordenat de subconjunts oberts no buit de X satisfà la condició de cadena contable, és dir cada colecció disjunta per parells de subconjunts oberts no buits de X és contable. El nom prové del problema de Suslin.

• Tot espai topològic separable és ccc. Ademés, l'espai de producte de com a molt $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ espais separables és un espai separable i, per lo tant, ccc.
• Un espai mètric és ccc si i només si és separable.
• En general, un espai topològic ccc no necessita ser separable. Per eixemple, $\{0,1{\}}^{2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}}$ en la topología producte és ccc, encara que no separable.
• Els espais ccc paracompactos són espais de Lindelöf.

Referències

Bibliografia

• (2003).«Set Theory: Millennium Edition».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• Products of Separable Spaces, K. A. Ross, and A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)