Cofinalidad

En teoria de conjunts i teoria de l'orde, un subconjunt A d'un conjunt ordenat X és cofinal en X si no té cota superior en X.

En teoria de conjunts s'utilisa este concepte per a definir la noció de cofinalidad, que permet classificar els distints cardinals infinits.

Cofinalidad d'ordinals

La definició de conjunt cofinal és:

Siga X un conjunt ordenat. Un subconjunt A ⊆ X és cofinal en X si per a cada x ∈ X existix un a ∈ A major o igual a x.

Per un atre costat, la noció de «cofinal» referida a ordinals és:

Es diu que un ordinal α és cofinal en un atre ordinal β si existix una funció monòtona f : α → β que el seu ranc és cofinal en β.

D'esta manera, α és cofinal en β si pot «escalar-se» l'ordinal β en α «bots» arbitrariamente grans, superant qualsevol ordinal menor que β. Es definix llavors la cofinalidad d'un ordinal com:

La cofinalidad d'un ordinal α és el menor ordinal cf(α) que és cofinal en α.

És dir, cf(α) és el número mínim de «bots» necessaris per a «escalar» α.

La cofinalidad d'un ordinal només té interés per a ordinals llímit, ya que donat qualsevol ordinal successor α = β + 1 = {0, 1, ..., β} es té que cf(α) = 1. En efecte, el ranc de la funció f : 1 → α donada per f(0) = β és cofinal en α.

Pot demostrar-se que es requerixen infinits «bots» per a escalar un ordinal llímit, i que no qualsevol ordinal pot ser la cofinalidad d'un atre:

Eixemples. (Es pot utilisar la notació de números alef per a parlar de cofinalidades, identificant ℵ_α en el corresponent ordinal ω_α.) Cap número natural n és cofinal en ω, perque el ranc de qualsevol funció f : n → ω té un màxim, f(n – 1), i per tant una cota superior estricta, f(n – 1) + 1. Aixina, cf(ω) = ω.

• Si s'assumix l'axioma d'elecció (o inclús una versió més dèbil), la cofinalidad del primer ordinal no numerable ω₁ no és cap ordinal numerable δ . Açò es deu a que llavors, l'unió numerable de conjunts numerables és a la seua volta numerable, i cap funció f : δ → ω₁ és cofinal: l'unió dels ordinals en la seua image, tots ells numerables per la definició de ω₁, és un ordinal numerable α, i α + 1 és menor que ω₁ i una cota estricta per al ranc de f. Per tant, ha de ser cf(ω₁) = ω₁.

El cardinal ℵ_ω és l'unió numerable dels cardinals ℵ_n. ya que eixa série numerable no té cota en ℵ_ω, es té que cf(ℵ_ω) = ω.

Ordinal regular

AP Un ordinal α és regular si coincidix en el seu confinalidad, α = cf(α). Un ordinal regular és de fet un cardinal.

Referències

• .
• Roitman, Judith (1990). «5.4. Cofinality», Introduction to Modern Set Theory (en anglés), Wiley. ISBN 0-471-63519-7.