Axioma de Martin

En teoria de conjunts, el axioma de Martin, introduït per Donald A. Martin i Robert M. Solovay, és una afirmació que és independent dels axioma habituals de la teoria de conjunts ZFC. L'afirmació està implícita en l'hipòtesis del continu, pero és consistent en ZFC i la negació de l'hipòtesis del continu. Informalmente, diu que tots els cardinals menors que la cardinalidad del continu, $𝔠$, es comporten aproximadament com ${\mathrm{\aleph }}_0$. L'intuïció darrere d'este fet es pot entendre estudiant la demostració del lema de Rasiowa-Sikorski. És un principi que s'utilisa per a controlar certs arguments de forcing .

Enunciat

Per a qualsevol 𝛋 cardinal, considere's la següent afirmació:

MA(𝛋)

Per a qualsevol orde parcial P que satisfaça la condició de cadena contable (en avant ccc) i qualsevol família D de subconjunts densos de P tal que |D| ≤ κ, hi ha un filtre F en P tal que F ∩ d no és buit per a cada d en D.

En este cas (per a l'aplicació de ccc), una anticadena és un subconjunt A de P tal que dos membres distints de A sò incompatibles (es diu que dos elements són compatibles si existix un element comú baix d'abdós en l'orde parcial). Açò diferix, per eixemple, de la noció de anticadena en el context d'arbres.

MA(ℵ₀) és simplement cert: el lema de Rasiowa-Sikorski. MA(2^ℵ₀) és fals: [0, 1] és un separable compacte espai de Hausdorff, i aixina (P, el poset de subconjunts oberts baix inclusió, és) ccc. Pero ara considere les següents dos famílies size-2^ℵ₀=c de conjunts densos en P: no x∈ [0, 1] és aïllat, per lo que cada x definix el subconjunt dens {S : x∉ S}. I cada r∈(0, 1], definix el subconjunt dens {S : diam(S)<r}. Les dos famílies combinades també són de tamany c, i un filtre que complixca abdós deu evitar simultàneament tots els punts de [0, 1] mentres conté conjunts de diàmetro arbitrariamente menut. Pero un filtre F que continga conjunts de diàmetro arbitrariamente chicotet deu contindre un punt en ⋂ F per compacidad.

L'axioma de Martin és llavors que MA(κ) manté "el major temps possible":

Axioma de Martin (MA)

Per a cada κ < c, MA(κ) es complix.

Formes equivalents de MA(κ)

Les següents afirmacions són equivalents a MA(κ):

• Si X és un espai topològic compacte de Hausdorff que satisfà la ccc llavors X no és l'unió de κ o menys subconjunts en ninguna parte densa.
• Si P és un ccc ascendent no buit poset i I és una família de subconjunts cofinales de P en |I| ≤ κ llavors hi ha un conjunt dirigit cap a dalt A tal que A complix en cada element de I.
• Siga A un àlgebra de Boole ccc no trivial i F una família de subconjunts de A en |F| ≤ κ. Després hi ha un homomorfisme booleano φ: A → Z/2Z tal que per a cada X en F hi ha una a en X en φ(a) = 1 o hi ha un llímit superior b per a X en φ(b) = 0.

Referències

Bibliografia

• Fremlin, David H. (1984). Consequences of Martin's axiom, Cambridge tracts in mathematics, no. 84, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25091-9.
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.