Filtre (matemàtiques)

Archiu:Filter vs ultrafilter.svg

La ret del conjunt de potència del conjunt {1, 2, 3, 4}, en secció final ↑&#;1, 4&#; de color vert obscur. Este conjunt superior és un , i inclús un . No és un , perque incloure també els elements de color vert clar ho estén al filtre no trivial més gran ↑&#;brace. Ya que este últim no es pot ampliar més, ↑&#;1&#; és un ultrafiltro

En matemàtiques, específicament en teoria de l'orde, retículs i topología, un filtre és un subconjunt especial d'un conjunt parcialment ordenat. Un cas especial utilisat en freqüència és quan el conjunt ordenat considerat és el conjunt potencia d'un conjunt $S$, $2^S=𝒫(S)=\{x:x\subseteq S\}$, (és dir, el conjunt conformat per tots els subconjunts de $S$), ordenat per mig de la relació d'inclusió. La noció de dual d'un filtre és la d'ideal.

Els filtres varen ser introduïts per Henri Cartan in 1937 i utilisats subsecuentemente per Bourbaki en el seu llibre Topologie Générale com una alternativa a la noció similar de ret desenrollada en 1922 per E. H. Moore i H. L. Smith.

Definició general

Un subconjunt no buit $F$ d'un conjunt parcialment ordenat $(P,⊑)$ és un filtre si es donen les següents condicions:

1. Per a cada $x\in F,y\in P,x⊑y\text{ implica que }y\in F$ ($F$ és una secció final).
2. Per a cada $x,y\in F,\text{ existe cierto elemento }z\in F,\text{ tal que }z⊑x\text{ y }z⊑y$ ($F$ és un conjunt filtrat).

Un filtre es diu propi si no és igual a tot el conjunt $P$ complet.

Mentres que la definició de dalt és la manera més general per a definir un filtre sobre "posets" arbitraris, originalment es va definir solament per als reticulados, en el cas de les quals, la definició de dalt pot caracterisar-se per la següent proposició equivalent:

Un subconjunt no buit $F$ d'un reticulado $(P,⊑)$ és un filtre, si i solament si és un conjunt "upper" que és tancat baix finitas "meets": $\sqcap$ (ínfim), açò és, per a tot $x,y\in F$, es té que $x\sqcap y\in F$.

El filtre més chicotet que continga cert element donat $p$ és un filtre principal i $p$ és un element principal en esta situació. El filtre principal per a $p$ ve dau pel conjunt $\{x\in P:p⊑x\}$ denotat per $\uparrow p$.

La noció de ideal és el dual de la noció de filtre, açò és, el ideal s'obté canviant totes les $⊑$ per $⊒$ i totes les $\sqcap$ per $\bigsqcup$ en el filtre. Per esta dualitat la discussió sobre els filtres repetix la dels ideals. D'ahí que la major part de l'informació adicional sobre ells (incloent la de filtres maximales i filtres primers) es troba en l'artícul sobre ideals. Existix també un artícul separat sobre ultrafiltros.

Filtres de conjunts

Un cas important de filtres en teoria de l'orde són els filtres de conjunts, que s'obtenen prenent el conjunt potencia d'un conjunt dau $S$, vist com a orde parcial i ordenat per l'inclusió de subconjunts. En això tindrem que un filtre $F$ sobre un conjunt $S$ és un conjunt de subconjunts de $S$ en les següents propietats:

1. $S\text{ está en }F$. ($F\ne \varnothing$ és no buit)
2. $F$ no conté al conjunt buit. ($F$ és propi)
3. Si $A\text{ y }B\text{ están en }F,$ també la seua intersecció. ("$F$ és tancat baix interseccions finitas ")

1. Si $A$ està en $F$ i $A$ és un subconjunt de $B$, llavors $B$ està en $F$, per a tots els subconjunts $B$ de $S$. (" $F$ és tancat baix supercontenencias ")

Les tres primeres propietats impliquen que un filtre de conjunt té la Propietat de l'Intersecció Finita. Note's que en esta definició, un filtre de conjunt és en efecte un filtre; de fet és un filtre propi. Debido a ello, algunes voltes és cridat filtre propi d'un conjunt; des de després, tan clar com siga el context del conjunt, el nom més breu és suficient.

Una base de filtre és un subconjunt $B$ de $𝒫(S)$ en les següents propietats:

1. L'intersecció de qualsevol parell de conjunts de $B$, conté un conjunt de $B$.
2. $B$ és no buit i el conjunt buit, $\varnothing$, no està en $B$.

Donat una base de filtre $B$, es pot obtindre un filtre (propi) en incloure tots els conjunts de $𝒫(S)$ que contenen a algun subconjunt de $B$. El filtre que resulta es diu generat per la base de filtre $B.$ Tot filtre és a fortiori una base de filtre, de modo que el procés de passar d'una base de filtre a un filtre pot ser vist com una espècie de completación.

Si B i C són dos bases de filtre en S, es diu que C és més fi que B (o que C és un refinament de B), si per a cada B₀ ∈ B existix C₀ ∈ C tal que C₀ ⊆ B₀.

Per a les bases de filtres B i C, si B és més fina que C, i C és més fina que B, llavors es diu que B i C són bases de filtre equivalents. Dos bases de filtre són equivalents si i solament si els filtres que generen són iguals.

Per a les bases de filtres A, B i C, si A és més fina que B, i B és més fina que C, A és més fina que C. Per tant la relació de refinament és un preorden en el conjunt de les bases de filtres, i el passage d'una base de filtre a un filtre és un eixemple d'un preordenamiento a l'ordenament parcial associat.

Donat un subconjunt T de P(S) podem preguntar quàn existix un filtre més chicotet F que conté a T. Tal filtre existix si i solament si l'intersecció finita de subconjunts de T és no buida. Cridem a T subbase de F, i es diu que F està generat per T. La subbase T pot construir-se prenent totes les interseccions finitas de T, el qual és llavors una base de filtre per a F.

Eixemples

• Siga $(X,T)$ un espai topològic i $x$ un element de l'espai $X$, la família dels entorns del punt $x$ és un filtre sobre $X$.
• Si $A$ és un subconjunt de $X$ i $x$ un element de la clausura de $A$, la família $\{A\cap V:V\text{ es entorno de }x\}$ és un filtre sobre $A$.

• Siga $S$ un conjunt no buit i $C$ un subconjunt de $S$ no buit. Llavors $\{C\}$ és una base de filtre. El filtre que genera (és dir la colecció de tots els subconjunts que contenen a $C$) és cridat filtre principal generat per $C$.

• Un filtre es diu que és filtre lliure si l'intersecció de tots els seus elements és buida. Un filtre principal no és lliure. Ya que l'intersecció de qualsevol número finito de membres d'un filtre és ademés un membre, cap filtre sobre un conjunt finito és lliure, i de fet és el filtre principal generat per l'intersecció comuna de tots els seus membres. Un filtre no principal sobre un conjunt infinit no és lliure necessàriament.

• El filtre de Fréchet d'un conjunt infinit $S$ és el conjunt de tots els subconjunts de $S$ que tenen complement finito. El filtre de Frechet és lliure, i està contingut en tot filtre lliure sobre $S$.

• Una estructura uniforme sobre un conjunt $X$ és (en particular) un filtre en $X\times X$.

• Un filtre en un conjunt parcialment ordenat pot construir-se usant el Lema de Rasiowa-Sikorski. casi sempre usat en forzamiento.

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4): Provides a good reference for filters in general topology (Chapter I) and for Cauchy filters in uniform spaces (Chapter II)
• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Provides an introductory review of filters in topology.)
• David MacIver, Filters in Analysis and Topology (2004) (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• B. Amaro Caamaño. Categories de Conjunts en Filtre. Alxebra(13). 1973.