Dualitat (teoria de l'orde)
En l'àrea matemàtica de la teoria de l'orde, cada conjunt parcialment ordenat P dona lloc a un conjunt parcialment ordenat dual (també denominat opost) que a sovint es denota per Pop o Pd. Este orde dual Pop es definix com el conjunt en el orde invers, és dir, els x ≤ i es manté en Pop si i solament si els i ≤ x es manté en P. És fàcil vore que esta construcció, que es pot representar donant el regrés al diagrama de Hasse de P, donarà un conjunt parcialment ordenat. En un sentit més ampli, també es diu que dos conjunts parcialment ordenats són duals si són doblement isomorfos, és dir, si un conjunt parcialment ordenat és ordernadamente isomorfo al dual de l'atre.
L'importància d'esta simple definició prové del fet de que cada definició i teorema de la teoria de l'orde pot transferir-se fàcilment a l'orde dual. Formalment, este fet és definit en el principi de dualitat per a conjunts ordenats:
- Si un enunciat dau és vàlit per a tots els conjunts parcialment ordenats, llavors la seua declaració dual, obtinguda invertint la direcció de totes les relacions d'orde i per mig de la dualización de totes les definicions teòriques d'orde involucrades, també és vàlida per a tots els conjunts parcialment ordenats.
Si una declaració o definició és equivalent al seu dual, llavors es diu que és autodimensional. Tinga's en conte que la consideració d'órdens duals és tan fonamental que a sovint ocorre implícitament quan s'escriu ≥ per a l'orde dual de ≤ sense donar cap definició prèvia d'este símbol "nou".
Eixemples
[editar | editar còdic]Naturalment, hi ha una gran cantitat d'eixemples per a conceptes que són duals:
- Element major i menor
- Element maximal i minimal
- Element suprem i ínfim (suprem ∨ i ínfim ∧)
- Secció final
- Ideals i filtres
- Operador clausura i operador núcleu.
Els eixemples de nocions que són autoduales inclouen:
- Ser un retícul (complet)
- Monotonicidad de funcions
- Distributividad de retículs, és dir, les rets per a les que les condiciones ∀ x, i, z: x ∧ (i ∨ z) = (x ∧ i) ∨ (x ∧ z) són exactament aquelles condicions per a les que la declaració dual ∀ x, i, z:x ∨ (i ∧ z) = (x ∨ i) ∧ (x ∨ z)[1]
- Condició d'àlgebra booleana
- Condició d'isomorfisme d'orde.
Com els órdens parcials són antisimètrics, els únics que són autoduales són les relaciones d'equivalència.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Els quantificadors són essencials: per a elements individuals x, i, z, la primera equació pot no complir-se, pero la segona si deu complir-se; vore per eixemple el retícul N5.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- (2002).«Introduction to Lattices and Order».Cambridge University Press.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Dualidad (teoría del orden)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.