Retícul modular

Archiu:2d modular lattice.svg

Retícul modular

Archiu:Smallest nonmodular lattice 1.svg

Diagrama de Hasse de N₅, el més chicotet entre els retículs no modular.

Un retícul modular en el sentit de la teoria de l'orde és un retícul que complix la següent condició auto-dual (modularidad):

$x\le b$ implica que $x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b.$

Els retículs modular ocorren en àlgebra i en numeroses atres àrees de les matemàtiques. Aixina, per eixemple, els subespacios d'un espai vectorial (i, més en general, els submòduls d'un mòdul sobre un anell) formen un retícul modular.

Tot retícul distributivo és modular.

No obstant, encara en un retícul no modular poden existir elements b que complixquen en la condició de modularidad en relació en elements arbitraris a i x (sent x ≤ b). Un element b tal es denomina element modular. En térmens encara més generals, poden considerar-se parells (a, b) d'elements, que complixquen en la condició de modularidad sobre tot element x. Un parell d'este tipo es denomina parell modular i sobre la base d'esta noció existixen vàries generalisacions del concepte de modularidad relacionades en el de semimodularidad.

Introducció

La propietat de modularidad pot considerar-se com una propietat associativa restringida, per la que abdós operacions reticulars es combinen de manera similar a com la propietat associativa λ(μx) = (λμ)x per a espais vectorials combina la multiplicació en un cos en la multiplicació escalar. La restricció x ≤ b es fa necessària perque se seguix de x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b.

Archiu:Smallest nonmodular lattice 2.svg

La no modularidad de N₅.

És fàcil comprovar que, en tot retícul, de x ≤ b se seguix x ∨ (a ∧ b) ≤ (x ∨ a) ∧ b. Per això la propietat de modularidad també pot formular-se com seguix:

Modularidad (variant)

x ≤ b implica que x ∨ (a ∧ b) ≥ (x ∨ a) ∧ b.

Reemplaçant x pel terme x ∧ b, la propietat de modularidad pot expressar-se per mig de la següent equació, que deurà complir-se sense més precondiciones:

(x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b.

Açò mostra (usant conceptes d'àlgebra universal), que els retículs modular conformen una subvariedad de la varietat dels retículs. D'allí que totes les imàgens homomorfas, subretículos i productes directes de retículs modular siguen a la seua volta modular. El retícul no modular més simple és el "retícul pentagonal" N₅, que consistix en els cinc elements 0,1,x,a,b, de modo que 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, sent a incomparable en x i en b. En este retícul es complix que x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b, en contradicció en la propietat de modularidad. Tot retícul no modular conté un subretículo coincidente en N₅.

Aludint a Richard Dedekind, descobridor de la propietat de modularidad, els retículs modular encara hui seguixen denominant-se retículs de Dedekind.

Teorema del subretículo isomorfo al retícul diamant

Per a cada parell d'elements a,b d'un retícul modular es poden considerar els intervals [a ∧ b, b] i [a, a ∨ b]. Entre estos intervals existix les aplicacions monòtones

φ: [a ∧ b, b] → [a, a ∨ b] i

ψ: [a, a ∨ b] → [a ∧ b, b],

definides per φ(x) = x ∨ a i ψ(x) = x ∧ b.

• En un retícul modular, les aplicacions φ i ψ són isomorfismes mútuament inversos.
  En un retícul modular, les aplicacions φ i ψ són isomorfismes mútuament inversos.
• Contraeixemple per a la teorema de l'isomorfisme del diamant en un retícul no modular.
  Contraeixemple per a la teorema de l'isomorfisme del diamant en un retícul no modular.

La composició ψφ és una aplicació monòtona de l'interval [a ∧ b, b] sobre sí mateixa, que ademés complix l'inecuación ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x. L'eixemple mostra que en el cas general no pot tractar-se d'una equació. En canvi, en el cas d'un retícul modular sempre rig l'equació. Com el retícul dual d'un retícul modular té a la seua volta a este últim com a retícul dual, φψ és de la mateixa manera l'aplicació d'identitat sobre [a, a ∨ b]; per tant φ i ψ són isomorfismes entre estos dos intervals. Este resultat a voltes es denomina teorema del subretículo isomorfo al retícul diamant per a retículs modular. Un retícul és modular si i solament si esta propietat rig per a cada parell d'elements.

La teorema del subretículo isomorfo al retícul diamant per a retículs modular és anàlec al tercer teorema de isomorfía de l'àlgebra, ademés d'una generalisació del teorema del retícul.

Bibliografia

• Richard Dedekind (1897), "Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler", Braunschweiger Festschrift: 1–40
• T. S. Fofanova (2001): "Semi-modular lattice", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Maeda, Shûichirô (1965): "On the symmetry of the modular relation in atomic lattices", Journal of Science of the Hiroshima University 29: 165–170
• L. A. Skornyakov (2001): "Modular lattice", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Manfred Stern (1999): Semimodular lattices, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46105-4
• George Grätzer (1998): General Lattice Theory (2. Auflage), Birkhauser, ISBN 978-0817652395