Lema de Rasiowa-Sikorski

En la teoria axiomàtica de conjunts, el lema de Rasiowa-Sikorski (nomenat aixina per Roman Sikorski i Helena Rasiowa) és un dels fets més importants usats en la tècnica del forçat. En l'àrea del forçat, un subconjunt D d'una notació de forçat (P, ≤) és cridat dens en P si per a qualsevol p ∈ P hi ha un d ∈ D en d ≤ p. Un filtre F en P és cridat D-genèric si

F ∩ I ≠ ∅ per a tot I ∈ D.

Ara podem donar el lema de Rasiowa–Sikorski:

Daus (P, ≤) un poset i p ∈ P. Si D és una família numerable de subconjunts densos de P, existix un filtre D-genèric F en P tal que p ∈ F.

El lema Rasiowa-Sikorski es pot vore com una forma més dèbil del axioma de Martin. Més específicament, és equivalent a MA(${\mathrm{\aleph }}_0$), a on MA(𝛋) és l'enunciat de que para qualsevol orde parcial P que satisfaça la condició de cadena contable i qualsevol família D de subconjunts densos de P en cardinalidad menor o igual a 𝛋, hi ha un filtre D-genèric F ∈ P.

Prova del lema de Rasiowa–Sikorski

Ya que D és numerable, podem enumerar els subconjunts densos de P com a D₁, D₂, …. Per suposició, existix p ∈ P. Llavors, per la densitat, existix p₁ ≤ p en p₁ ∈ D₁. Repetint, tenim … ≤ p₂ ≤ p₁ ≤ p en p_i ∈ D_i. Llavors G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ p_i} és un filtre D-genèric.

Eixemples

Per a (P, ≥) = (Func(X, I), ⊂), el poset de les funcions parcials de X a I, definix D_x = {s ∈ P: x ∈ dom(s)}. Si X és enumerable, el lema de Rasiowa–Sikorski dona un filtre {D_x: x ∈ X}-genèric F i per lo tant una funció ∪ F: X → I.

Si nos atenim a la notació utilisada en el tractament de filtres D-genèrics, {H ∪ G₀: P_ijP_t} forma un filtre H-genèric. Si D és no numerable, pero la cardinalidad és estrictament menor que $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ i el poset complix la condició de cadena numerable, podem usar en canvi l'axioma de Martin.

Vore també

• Filtre
• Axioma de Martin

Referències

• Set Theory for the Working Mathematician. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
• (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.