Espai polac

En la disciplina matemàtica de la topología general, un espai polac és un espai topològic separable completament metrisable; és dir, un espai homeomorfo a un espai mètric complet que té un subconjunt dens numerable. Els espais polacs es diuen aixina perque varen ser estudiats exhaustivament per primera volta per topólogos i llògics polacs: Sierpiński, Kuratowski i Tarski, entre uns atres. No obstant, la seua importància actual radica que són l'escenari principal de la teoria descriptiva de conjunts, en particular de l'estudi de les relacions d'equivalència de Borel. Els espais polacs també juguen un paper en teoria de la mida alvançada, sobretot en teoria de la provabilitat .

Alguns eixemples comuns d'espais polacs són la recta real, qualsevol espai de Banach separable, l'espai de Cantor i l'espai de Baire. Ademés, alguns espais mètrics que no són complets en la seua mètrica habitual poden ser polacs; per eixemple, l'interval obert (0, 1) és polac (homeomorfo a $ℝ$).

Entre dos espais polacs no numerables hi ha sempre un isomorfisme de Borel, és dir, una biyección que conserva l'estructura de Borel. En particular, tot espai polac no numerable té la cardinalidad del continu.

Algunes generalisacions dels espais polacs són els espais de Lusin, els de Suslin i els de Radon.

Propietats

1. Tot espai polac satisfà el segon axioma de numerabilidad (en virtut de ser separable metrisable).
2. (Teorema de Alexandrov) Si X és polac, llavors també ho és qualsevol subconjunt G_δ de X
3. Un subespacio Q d'un espai polac P és polac si i solament si Q és l'intersecció d'una família numerable d'oberts de P . (Açò és el recíproc a la teorema de Alexandrov.)
4. (Teorema de Cantor-Bendixson) Si X és polac, qualsevol subconjunt tancat de X pot escriure's com l'unió disjunta d'un conjunt perfecte i un conjunt numerable. Ademés, si l'espai polac X és no numerable, pot escriure's com l'unió disjunta d'un conjunt perfecte i un conjunt obert numerable.
5. Tot espai polac és homeomorfo a un subconjunt G_δ del gaveta de Hilbert (és dir, de $I^{\mathbb{N}}$, a on I és l'interval unitari i N és el conjunt d'número natural).

Els següents espais són polacs:

• Subconjunts tancats d'un espai polac,
• Subconjunts oberts d'un espai polac,
• Productes i unions disjuntas de famílies numerables d'espais polacs,
• Aquells espais localment compactes que són metrisables i numerables en l'infinit,
• Interseccions numerables de subespacios polacs d'un espai Hausdorff,
• el conjunt de número irracional en la topología induïda per la topología estàndar de la recta real.

Caracterisació

Existixen numeroses caracterisació que indiquen quàn un espai topològic IIAN és metrisable, com la teorema de metrización de Urysohn . El problema de determinar si un espai metrisable és completament metrisable és més difícil. Hi ha espais topològics, com l'interval unitat obert (0,1), les topología de la qual es poden generar per mig de mètriques completes i mètriques incompletes.

Existix una caracterisació dels espais mètrics separables que són completament metrisables en térmens de la teoria de jocs, en concret del joc fort de Choquet. Un espai mètric separable és completament metrisable si i solament si el segon jugador té una estratègia guanyadora en este joc.

Una segona caracterisació, derivada de la teorema de Alexandrov, establix que un espai mètric separable és completament metrisable si i solament si és un subconjunt $G_{\delta }$ del seu completación en la mètrica original.

Bibliografia

• Banach (1932). Théorie dones opérations linéaires (en fr), Warsaw.
• Bourbaki, Nicolas (1989). «IX. Use of Real Numbers in General Topology», Elements of Mathematics: General Topology, Part 2, Springer-Verlag.
• (1936).Ann. of Math..37(1)

46–56.doi:10.2307/1968686.

• Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I, Academic Press. ISBN 012429202X.
• (1976).Trans. Amer. Math. Soc..221

1–33.doi:10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X.

• (1950).Ann. of Math..51(2)

293–308.doi:10.2307/1969471.

• Rogers, L. C. G.; Williams, {{{nom2}}} (1994). Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Volume 1: Foundations, 2nd Edition, John Wiley & Sons Ltd.
• Schwartz, Laurent (1973). Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press. ISBN 978-0195605167.
• Srivastava, Sashi Mohan (1998). A Course on Borel Sets, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98412-4.