Teoria descriptiva de conjunts

En llògica matemàtica, la teoria descriptiva de conjunts és l'estudi de certes classes de subconjunts de bon comportament de la recta real o uns atres espais polacs. Ademés de ser una de les principals àrees d'investigació en teoria de conjunts, també té aplicacions en atres àrees de les matemàtiques com l'anàlisis funcional, teoria ergòdica, l'estudi d'àlgebra d'operadors i les accions de grup.

Espais polacs

La teoria descriptiva de conjunts comença en l'estudi dels espais polacs i els seus subconjunts de Borel.

Un espai polac és un espai topològic segon contable que és metrisable en una mètrica completa. De manera equivalent, és un espai mètric completament separable que la seua mètrica ha segut "oblidada". Alguns eixemples són la recta real $ℝ$, l'espai de Baire $𝒩$, l'espai de Cantor $𝒞$, i el gaveta de Hilbert $I^{\mathbb{N}}$.

Propietats d'universalitat

La classe dels espais polacs posseïx certes propietats d'universalitat, lo que comporta que no hi ha pèrdua de generalitat en considerar certs casos particulars d'espais polacs especialment simples:

• Tot espai polac és homeomorfo a un subespacio G_δ de la gaveta de Hilbert , i tot subespacio G_δ de la gaveta de Hilbert és polac.
• Tot espai polac s'obté com una image contínua de l'espai de Baire; de fet tot espai polac és l'image d'una biyección contínua definida sobre un subconjunt tancat de l'espai de Baire. De manera similar, cada espai polac compacte és una image contínua de l'espai de Cantor.

Per estes propietats d'universalitat, i ya que l'espai de Baire $𝒩$ posseïx la convenient propietat de que és homeomorfo a ${𝒩}^{\omega }$, és possible provar varis resultats de la teoria descriptiva de conjunts en el context solament de l'espai de Baire.

Subconjunts de Borel

l'àlgebra de Borel d'un espai topològic X consistix en la σ-àlgebra més chicoteta que conté els subconjunts oberts de X. Per tant, l'àlgebra de Borel és la colecció més chicoteta de conjunts tal que:

• Tot subconjunt obert de X és un conjunt de Borel.
• Si A és un conjunt de Borel, també ho és $X\setminus A$. És dir, la classe dels conjunts de Borel és tancada baix complements.
• Si A_n és un conjunt de Borel per a cada número natural n, llavors l'unió $\bigcup A_n$ és un conjunt de Borel, és dir la classe de conjunts és tancada baix l'unió numerable de conjunts.

Ademés, és conegut que dos espais polacs no numerables qualssevol X i I són Borel-isomorfos; existix una biyección des de X a I tal que la preimagen de qualsevol conjunt de Borel és a la seua volta Borel, i a l'inversa, l'image de qualsevol conjunt de Borel és Borel. Este resultat aporta una justificació adicional a la pràctica de restringir l'atenció als espais de Baire i de Cantor, ya que estos i qualsevol atre espai polac són isomorfos pel que fa als seus conjunts de Borel.

Jerarquia de Borel

Cada conjunt de Borel d'un espai polac es classifica en la jerarquia de Borel en funció de quantes operacions d'unió i complementarietat cal amprar per a obtindre dit conjunt a partir de conjunts oberts. La classificació es realisa utilisant números ordinals numerables. Per a cada ordinal numerable no nul α existixen les classes ${𝜮}_{\alpha }^0$, ${𝜫}_{\alpha }^0$, and ${𝜟}_{\alpha }^0$.

• Tot conjunt obert es definix com ${𝜮}_1^0$.
• Un conjunt es definix com ${𝜫}_{\alpha }^0$ si i solament si el seu complement és ${𝜮}_{\alpha }^0$.

• Un connjunto A es definix com ${𝜮}_{\delta }^0$, δ > 1, si existix una seqüència ⟨ A_i ⟩ de subconjunts, cada u dels quals és ${𝜫}_{\lambda (i)}^0$ per a algun λ(i) < δ, tal que $A=\bigcup A_i$.
• Un conjunt és ${𝜟}_{\alpha }^0$ si i solament si és al mateix temps ${𝜮}_{\alpha }^0$ i ${𝜫}_{\alpha }^0$.

Existix una teorema que demostra que si algun conjunt és ${𝜮}_{\alpha }^0$ o ${𝜫}_{\alpha }^0$ llavors és ${𝜟}_{\alpha +1}^0$, i qualsevol conjunt ${\Delta }_{\beta }^0$ és al mateix temps ${𝜮}_{\alpha }^0$ i ${𝜫}_{\alpha }^0$ per a tot α > β.

Per tant, la jerarquia té la següent estructura, en la que les fleches indiquen inclusió:

$\begin{array}{ccccccccc}& & {𝜮}_1^0& & & & {𝜮}_2^0& & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ {𝜟}_1^0& & & & {𝜟}_2^0& & & & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ & & {𝜫}_1^0& & & & {𝜫}_2^0& & \cdots \end{array}\begin{array}{cccccc}& & {𝜮}_{\alpha }^0& & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow \\ {𝜟}_{\alpha }^0& & & & {𝜟}_{\alpha +1}^0& \cdots \\ & \searrow & & \nearrow \\ & & {𝜫}_{\alpha }^0& & & \cdots \end{array}$

Regularitat dels conjunts de Borel

La teoria descriptiva de conjunts clàssica inclou l'estudi de les propietats de regularitat dels conjunts de Borel. Per eixemple, tots els conjunts de Borel d'un espai polac tenen la propietat de Baire i la propietat de conjunt perfecte. Més recentment s'ha estés la teoria per a incloure la forma en que estos resultats es poden o no generalisar a atres classes de subconjunts dels espais polacs.

Vore també

• Teoria informal de conjunts.

Referències

• Kechris, Alexander S. (1994). Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory, North Holland. ISBN 0-444-70199-0.. Second edition available online.