Teoria informal de conjunts

La Teoria Informal de Conjunts és una de les diverses teorias que s'han desenrollat entorn al debat dels fonaments de matemàtiques.

Els conjunts tenen una importància fonamental en matemàtiques; de fet, de manera formal, la mecànica interna de les matemàtiques (números, relacions, funcions, etc.) pugues definir-se en térmens de conjunts.

Requisits

La teoria informal de conjunts és una teoria “no formalisada”; és dir, que ampra el llenguage quotidià per a parlar de conjunts, per lo que els conectors « i »; « o »; « no »; « si..., llavors »; « si i només si », no estan subjectes a definicions rigoroses.

En els seus primers temps, la teoria de conjunts era informal i va ser desenrollada a fins de el XIX, principalment per Georg Cantor i Gottlob Frege, en la finalitat de permetre als matemàtics treballar en conjunts infinits coherents.

No obstant, esta teoria primigènia permetia definir un conjunt a partir de qualsevol propietat sense cap restricció, lo que va dur a antinomias, o paradoxes llògiques, com la paradoxa de Russell, o semàntiques, com la paradoxa de Berry. Com a solució a este conflicte es va elaborar la teoria axiomàtica de conjunts, el propòsit dels quals era determinar en precisió quina definicions de conjunts podien ser amprades. Actualment, es coneix a la teoria axiomàtica de conjunts simplement com a teoria de conjunts.

Paradoxes

La suposició de que qualsevol propietat pot utilisar-se per a formar un conjunt, sense restricció, conduïx a paradoxes. Un eixemple comú és la paradoxa de Russell: no existix cap conjunt format per "tots els conjunts que no es contenen a sí mateixos". Per lo tant, els sistemes consistents de teoria ingènua de conjunts deuen incloure algunes llimitacions en els principis que es poden utilisar per a formar conjunt

Teoria de Cantor

Alguns creuen que la teoria de conjunts de Georg Cantor no estava realment implicada en les paradoxes set-teòriques (vore Frápolli 1991). Una dificultat per a determinar açò en certea és que Cantor no va proporcionar una axiomatisació del seu sistema. Cap a 1899, Cantor era conscient d'algunes de les paradoxes que se seguien de l'interpretació no restringida de la seua teoria, per eixemple la paradoxa de Cantor i la paradoxa de Burali-Forti, i no creïa que desacreditaren la seua teoria. La paradoxa de Cantor pot derivar-se en realitat de la suposició (falsa) anterior -que qualsevol propietat P(x) pot utilisar-se per a formar un conjunt- utilisant para P(x) "x és un número cardinal". Frege axiomatizó explícitament una teoria en la que pot interpretar-se una versió formalisada de la teoria ingènua de conjunts, i és esta teoria formal la que Bertrand Russell va abordar realment quan va presentar la seua paradoxa, no necessàriament una teoria que Cantor que, com s'ha mencionat, era conscient de vàries paradoxes presumiblement tenia en ment.

Teories axiomàtiques

La teoria axiomàtica de conjunts es va desenrollar en resposta a estos primers intents de comprendre els conjunts, en l'objectiu de determinar en precisió quina operacions estaven permeses i quàn.

Consistència

Una teoria de conjunts ingènua no és necessàriament inconsistente, si especifica correctament els conjunts que es permet considerar. Açò pot fer-se per mig de definicions, que són axioma implícits. És possible enunciar tots els axioma explícitament, com en el cas de la Teoria ingènua de conjunts de Halmos, que és en realitat una presentació informal dels axioma de Zermelo-Fraenkel habitual. És "ingènua" en el sentit de que el llenguage i les notacions són els de la matemàtica informal ordinària, i en el sentit de que no s'ocupa de la consistència o completitud del sistema de axioma.

De la mateixa manera, una teoria axiomàtica de conjunts no és necessàriament consistent: no està necessàriament lliure de paradoxes. Dels teoremes de incompletitud de Gödel es deduïx que un sistema de llògica de primer orde suficientment complicat (que inclou les teories axiomàtiques de conjunts més comuns) no pot demostrar-se consistent des de dins de la pròpia teoria – inclús si realment és consistent. No obstant, generalment es creu que els sistemes axiomàtics comuns són consistents; pels seus axioma exclouen algunes paradoxes, com la paradoxa de Russell. Basat en Teorema de Gödel, simplement no se sap – i mai es podrà – si no hi ha cap paradoxa en absolut en estes teories o en qualsevol teoria de conjunts de primer orde.

El terme teoria ingènua de conjunts encara s'utilisa hui en dia en alguna lliteratura^{cita requerida} per a referir-se a les teories de conjunts estudiades per Frege i Cantor, en lloc de les contrapartes informals de la moderna teoria axiomàtica de conjunts.

Utilitat

L'elecció entre un enfocament axiomàtic i atres enfocaments és en gran medida una qüestió de conveniència. En les matemàtiques quotidianes, la millor opció pot ser l'us informal de la teoria axiomàtica de conjunts. Les referències a axioma particulars ocorren típicament només quan ho exigix la tradició, per eixemple, l'axioma d'elecció es menciona a sovint quan s'utilisa. De la mateixa manera, les proves formals es produïxen només quan estan justificades per circumstàncies excepcionals. Este us informal de la teoria axiomàtica de conjunts pot tindre (depenent de la notació) precisament la apariència de la teoria ingènua de conjunts com es descriu a continuació. És considerablement més fàcil de llegir i escriure (en la formulació de la majoria de les afirmacions, proves i llínees de discussió) i és menys propens a errors que un enfocament estrictament formal.

Conjunts, pertinença i igualtat

En la teoria informal de conjunts, un conjunt es descriu com una colecció d'objectes ben definida. Dits objectes es denominen elements o membres del conjunt i poden ser de qualsevol naturalea: números, persones, atres conjunts, etc. Per eixemple, el 4 és un element del conjunt de tots els número entero. Òbviament, el conjunt de tots els números és infinitament gran; no obstant, no és necessari que un conjunt siga precisament finito per a que puga definir-se en precisió.

Nota sobre la consistència

D'esta definició no es deduïx cóm poden formar-se conjunts, ni quines operacions sobre conjunts produiran de nou un conjunt. El terme "ben definit" en "colecció ben definida d'objectes" no pot, per sí mateixa, garantisar la consistència i la no ambigüitat de lo que constituïx exactament i lo que no constituïx un conjunt. Intentar conseguir-ho seria l'àmbit de la teoria axiomàtica de conjunts o de la teoria de classes axiomàtica.

El problema, en este context, en les teories de conjunts formulades informalmente, no derivades de (i implicant) cap teoria axiomàtica particular, és que pot haver vàries versions formalisades molt diferents, que tenen tant conjunts diferents com a regles diferents sobre cóm es poden formar nous conjunts, que s'ajusten totes a la definició informal original. Per eixemple, la definició lliteral de Cantor permet una llibertat considerable en lo que constituïx un conjunt. Per una atra part, és poc provable que Cantor estiguera especialment interessat en conjunts que contingueren gossos i gats, sino només en conjunts que contingueren objectes purament matemàtics. Un eixemple d'esta classe de conjunts podria ser l'univers de von Neumann. Pero inclús quan es fixa la classe de conjunts en consideració, no sempre està clar quines regles per a la formació de conjunts estan permeses sense introduir paradoxes.

A efectes de fixar la discussió que seguix, el terme "ben definit" deu interpretar-se en canvi com una intenció, en regles implícites o explícites (axioma o definicions), de descartar incoherències. El propòsit és mantindre les qüestions de coherència, a sovint profundes i difícils, alluntades del context, normalment més senzill, que nos ocupa. En qualsevol cas, una teoria axiomàtica de conjunts no pot descartar explícitament totes les inconsistencias concebibles (paradoxes), per la segona teorema de incompletitud de Gödel, per lo que açò no obstaculisa en absolut l'utilitat de la teoria ingènua de conjunts en comparació a la teoria axiomàtica de conjunts en els contexts simples que es consideren a continuació. Simplement simplifica la discussió. En lo sucesivo, la coherència es dona per suposta a menos que es mencione explícitament.

Pertinença

Si x és element de A, llavors es diu que x pertany a A, o que x està en A. En este cas, esta proposició s'escriu o representa formalment aixina: x ∈ A. Mentres que usar el símbol ∉ d'esta manera: x ∉ A, vol dir que x no pertany a A.

Igualtat

Dos conjunts A i B són iguals quan tenen exactament els mateixos elements o, en atres paraules, ho són solament si cada u dels elements d'és al mateix temps element de B i si cada element de B també pertany o està inclós en A. Per eixemple, el conjunt els elements del qual són 2, 3 i 5 és igual al conjunt de tots els número primo menors de 6. I si els conjunts A i B són iguals, açò es representa comunament com A = B.

Conjunt buit

Els elements d'un conjunt determinen a este en la seua totalitat i açò també és vàlit per a un conjunt buit, que és aquell que no té cap element, el qual es representa a sovint aixina "Ø" i atres voltes aixina "{ }". Per lo que partint del fet de que inclús un conjunt buit està completament determinat pels seus elements, es conclou que només pot haver un conjunt buit.

Especificació de conjunts

La forma més senzilla de descriure un conjunt és enumerar els seus elements entre claus (lo que es coneix com definir un conjunt extensionalmente). Aixina {1, 2} denota el conjunt els únics elements del qual són 1 i 2. (Vore Axioma del parell.) Note's lo següent: L'orde dels elements és irrellevant; per eixemple, {1, 2} = {2, 1}. La repetició (multiplicitat) d'elements és irrellevant; per eixemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}. (Estes són conseqüències de la definició d'igualtat de la secció anterior).

Es pot abusar informalmente d'esta notació dient alguna cosa com {dogs} per a indicar el conjunt de tots els gossos, pero este eixemple normalment seria llegit pels matemàtics com "el conjunt que conté l'únic element gossos".

Un eixemple extrem (pero correcte) d'esta notació és {}, que denota el conjunt buit.

La notació {x : P(x)}, o a voltes {x | P(x)}, s'utilisa per a denotar el conjunt que conté tots els objectes per als que es complix la condició P (lo que es coneix com definir un conjunt intensionalmente). Per eixemple, {x : x ∈ R} denota el conjunt de número real, {x : x té el pèl ros} denota el conjunt de tot lo que té el pèl ros.

Esta notació es diu notació constructora de conjunts (o comprensió de conjunts, particularment en el context de la Programació funcional). Algunes variants de la notació constructora de conjunts són:

• {x ∈ A : P(x)} denota el conjunt de tots els x que ya són membres de A tals que la condició P es complix per a x. Per eixemple, si Z és el conjunt de sancerss, llavors {x ∈ Z : x és parell} és el conjunt de tots els parells sancers.
• {F(x) : x ∈ A} denota el conjunt de tots els objectes obtinguts posant membres del conjunt A en la fòrmula F. Per eixemple, {2x : x ∈ Z} és de nou el conjunt de tots els sancers parells. (Vore Esquema axiomàtic de tongada.)
• {F(x) : P(x)} és la forma més general de notació constructora de conjunts. Per eixemple, {x's owner : x is a dog} és el conjunt de tots els amos de gossos.

Subconjunts

Donats dos conjunts A i B, A és un subconjunt de B si tot element de A és també un element de B. En particular, cada conjunt B és un subconjunt de sí mateixa; un subconjunt de B que no és igual a B es diu subconjunt propi.

Si A és un subconjunt de B, llavors també es pot dir que B és un superconjunto de A, que A està contingut en B, o que B conté a A. En símbols, A ⊆ B significa que A és un subconjunt de B, i B ⊇ A significa que B és un superconjunto de A. Alguns autors utilisen els símbols ⊂ i ⊃ per als subconjunts, i uns atres només per als subconjunts propis. Per a major claritat, es poden utilisar explícitament els símbols ⊊ i ⊋ per a indicar la no igualtat.

Com a ilustració, siga R el conjunt dels número real, siga Z el conjunt dels número entero, siga O el conjunt dels número entero impars, i siga P el conjunt dels actuals o anteriors Presidents dels Estats Units. Llavors O és un subconjunt de Z, Z és un subconjunt de R, i (per lo tant) O és un subconjunt de R, a on en tots els casos subconjunt pot inclús llegir-se com a subconjunt propi. No tots els conjunts són comparables d'esta manera. Per eixemple, ni R és un subconjunt de P ni P és un subconjunt de R.

De la definició anterior d'igualtat de conjunts es deduïx immediatament que, daus dos conjunts A i B, A = B si i només si A ⊆ B i B ⊆ A. De fet, açò es dona a sovint com la definició d'igualtat. Normalment, quan s'intenta provar que dos conjunts són iguals, s'intenta demostrar estes dos inclusions. El conjunt buit és un subconjunt de tot conjunt (l'afirmació de que tots els elements del conjunt buit són també membres de qualsevol conjunt A és vacuamente verdadera).

El conjunt de tots els subconjunts d'un conjunt donat A es denomina conjunt potencia de A i es denota per $2^A$ o $P(A)$; la P apareix a voltes en un tipo de lletra script. Si el conjunt A té n elements, llavors $P(A)$ tindrà $2^n$ elements.

Conjunts universals i complements absoluts

En certs contexts, es pot considerar que tots els conjunts considerats són subconjunts d'un conjunt universal donat.

Per eixemple, quan s'investiguen les propietats dels número real R (i subconjunts de R), R pot prendre's com el conjunt universal. Un verdader conjunt universal no està inclós en la teoria estàndar de conjunts, pero està inclós en algunes teories de conjunts no estàndar.

Donat un conjunt universal O i un subconjunt A' de O, el complement de A (en O) es definix com A^C := {x ∈ O : x ∉ A}. En atres paraules, A^C (A-complement"; a voltes simplement A, A-prime ) és el conjunt de tots els membres de O que no són membres de A. Aixina, en R, Z i O definits com en la secció sobre subconjunts, si Z és el conjunt universal, llavors O^C és el conjunt dels número entero pares, mentres que si R és el conjunt universal, llavors O^C és el conjunt de tots els número real que són sancers parells o no sancers.

Unions, interseccions i complements relatius

Daus dos conjunts A i B, la seua unió és el conjunt format per tots els objectes que són elements de A o de B o d'abdós (vore axioma d'unió). Es denota per A ∪ B.

La intersecció de A i B és el conjunt de tots els objectes que estan tant en A com en B. Es denota per A ∩ B.

Finalment, el complement relatiu de B sobre A, també conegut com a diferència teòrica de conjunts de A i B, és el conjunt de tots els objectes que pertanyen a A pero no a B. S'escriu com A  B o A - B.

Simbòlicament, són respectivament

A ∪ B := {x : (x ∈ A) o (x ∈ B)};

A ∩ B := {x : (x ∈ A) i (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};

A ∈ B := {x : (x ∈ A) i no (x ∈ B) } =x ∈ A : not (x ∈ B)}.

El conjunt B no té que ser un subconjunt de A per a que A  B tinga sentit; esta és la diferència entre el complement relatiu i el complement absolut (A^C = O  A) de la secció anterior.

Per a ilustrar estes idees, siga A el conjunt de persones esquerreres, i siga B el conjunt de persones rosses. Llavors A ∩ B és el conjunt de totes les persones esquerreres de pèl ros, mentres que A ∪ B és el conjunt de totes les persones que són esquerreres o rosses o abdós coses. Per un atre costat, A  B és el conjunt de totes les persones que són esquerreres pero no rosses, mentres que B  A és el conjunt de totes les persones que són rosses pero no esquerreres.

Siga I el conjunt de tots els sers humans i F el conjunt de tots els sers vius de més de 1000 anys. ¿Qué és I∩ F en este cas? Cap ser humà viu té més de 1000 anys, aixina que I ∩ F deu ser el conjunt buit. {}.

Per a qualsevol conjunt A, el conjunt potencia $P(A)$ és un Àlgebra booleana baixe les operacions d'unió i intersecció.

Referències

Bibliografia

• Bourbaki, N., Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.

• (1874).«Ueber eine Eigenschaft dones Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen».J. Regne Angew. Math..1874(77)

258–262.doi:10.1515/crll.1874.77.258.

• Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
• María J. Frápolli|Frápolli, María J., 1991, "Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". Modern Logic, v. 1 n. 4, 1991, 302–318.
• (1893).«Grundgesetze der Arithmetik».Jena:1
• Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company.
  • Halmos, Paul (1974). Naive Set Theory, Reprint edició, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
  • Halmos, Paul (2011). Naive Set Theory, Paperback edició, D. Van Nostrand Company. ISBN 978-1-61427-131-4.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded), Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
• van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977. Plantilla:Isbn.
• (1991).«Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors.».Springer.Berlin:
• (1889).«Arithmetices Principies nova Methoda exposita».Turin:
• (1932).«Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author.».Springer.Berlin: