Paradoxa de Cantor

En teoria de conjunts, la paradoxa de Cantor afirma que no existix un conjunt de cardinalidades. Açò és conseqüència del teorema que mostra que no existix un número cardinal màxim. En térmens informals, la paradoxa afirma que la colecció de tots els tamanys d'infinits és tan infinitament gran que el seu tamany no pot ser cap dels tamanys d'infinit en la colecció. Esta dificultat es tracta en la teoria axiomàtica de conjunts, declarant que esta colecció no és solament un conjunt sino que una classe pròpia. En la teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Godel, s'utilisa l'axioma de llimitació de tamany per a demostrar que esta classe pròpia és una biyección en la classe de tots els conjunts. Llavors, no solament hi ha infinits infinits, pero este infinit és major a qualsevol de les infinitat que enumera.

Esta paradoxa rep el seu nom de Georg Cantor, qui l'hauria identificat per primera volta en 1899 (o entre 1895 i 1897). De la mateixa manera que atres "paradoxes", no és contradictòria, sino que simplement evidencia una intuïció errònea, en este cas sobre la naturalea de l'infinit i la noció de conjunt. Dit d'un atre modo, resulta paradòxica dins del marc de la teoria informal de conjunts i demostra que una axiomatisació superficial d'esta teoria és inconsistente.

Enunciats i demostracions

Per a enunciar la paradoxa és necessari comprendre que els número cardinal estan totalment ordenats, de modo que es pot parlar de que un és major o menor que un atre. Llavors, la paradoxa de Cantor és:

Teorema: No existix un número cardinal màxim.

Açò és una conseqüència del teorema de Cantor sobre la cardinalidad del conjunt potencia d'un conjunt.

Demostració: Assumim lo contrari i definim a C com l'número cardinal màxim. Després (en la formulació de cardinalidad de von Neumann), C és un conjunt i per això té un conjunt potencia 2^C que, per la teorema de Cantor, té cardinalidad estrictament major a C, la qual cosa contradiu la definició de C.

Una atra conseqüència de la teorema de Cantor és que els número cardinal formen una classe pròpia. És dir, no poden agrupar-se com a elements d'un sol conjunt:

Teorema: Si S és qualsevol conjunt, llavors S no conté elements de totes les cardinalidades. De fet, existix un llímit superior estricte sobre la cardinalidad dels elements de S.

Demostració: Si S és un conjunt i T l'unió dels elements de S, llavors cada element de S és un subconjunt de T. Després la cardinalidad de cada element de S és menor o igual a la de T, lo que implica, per la teorema de Cantor, que és estrictament menor a la del conjunt potencia 2^T.== Discussió i conseqüències ==

Ya que els número cardinal estan ben ordenats per indexación en els números ordinals (vore Número cardinal, definició formal), açò establix que no existix un ordinal màxim; esta última afirmació implica la paradoxa de Cantor. En aplicar esta indexación a la paradoxa de Burali-Forti, obtenim una atra demostració de que els número cardinal són una classe pròpia en lloc d'un conjunt i es deduïx d'açò que existix una biyección entre la classe dels cardinals i la classe de tots els conjunts.

Notes històriques

Si be se li atribuïx a Cantor l'haver identificat per primera volta esta propietat dels conjunts cardinals, alguns matemàtics otorguen esta distinció a Bertrand Russell, qui va definir una teorema similar en 1899 o 1901.

Referències

• Anellis, I. H. (1991). «The first Russell paradox», Drucker (ed.). Perspectives on the History of Mathematical Logic, Cambridge, Massachusetts: Birkäuser Boston, pp. 33–46.

• (1981).Història Mathematica.8(3)

319–350.doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7.