Classe (teoria de conjunts)

En teoria de conjunts, llògica de classes i les seues aplicacions en matemàticas, una classe és una família de conjunts o colecció de conjunts (o atres objectes matemàtics) que no necessàriament és un conjunt. El concepte de classe apareix en intentar «agrupar» tots els conjunts (o objectes) que compartixen una certa propietat.

En la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF) es denomina de manera informal «classe» a tota propietat expressada per una fòrmula de la seua llenguage, aun cuando puga demostrar-se que no existix un conjunt que continga tots els objectes en eixa propietat, en el cas de la qual es denomina una classe pròpia. L'us de les classes és llavors a través de notació. No obstant existixen atres teories, com la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), en les que les classes són objectes de ple dret i pot establir-se una distinció entre abdós tipos de «coleccions d'objectes».

Eixemples de classes pròpies són la classe universal, la classe R de la paradoxa de Russell o la classe de tots els ordinals.

Classes en ZF

En ZF s'introduïx la noció de classe com un conveni de notació:

Una classe és una expressió del tipo {x : φ(x)}, a on φ és una fòrmula en (a lo manco) la variable lliure x.

Les classes solen denotar-se per lletres mayúscules, A, B, ... Esta definició es complementa en una série de regles informals per a interpretar les fòrmules a on apareguen classes. Per eixemple, si A i B són classes definides per les fòrmules φ i ψ, llavors:

A ⊆ B significa: ∀x, φ(x) → ψ(x)

A = B significa: ∀x, φ(x) ↔ ψ(x)

∀x ∈ A, ξ(x) significa: ∀x, φ(x) → ξ(x)

∃x ∈ A: ξ(x) significa ∃x: φ(x) ∧ ξ(x)

A ∩ B = ∅ significa: ∀x, ¬ (φ(x) ∧ ψ(x))

Pot demostrar-se que a cada conjunt c li correspon una classe —precisament, la classe {x: x ∈ c}—, pero també que existixen classes pròpies, classes que no poden ser conjunts, o de lo contrari duen a contradicció. Alguns eixemples són la classe universal i la classe R = {x: x ∉ x} o la classe de tots els ordinals On = {α: α és un ordinal}. Es distinguix a les classes pròpies dels conjunts de manera senzilla:

Una classe a és un conjunt si és element d'alguna atra classe, açò és, si existix una atra classe B tal que a ∈ B. De lo contrari és una classe pròpia.

Els axiomas de NBG establixen les propietats de classes pròpies i conjunts, de tal manera pot demostrar-se l'existència de les classes pròpies mencionades anteriorment. No obstant, NBG és una extensió conservativa de ZF: restringint-se a les fòrmules que només «parlen de conjunts», NBG i ZF proven les mateixes teoremes.

Eixemples de classes pròpies

• La classe dels conjunts que no es contenen a sí mateixos, R = {x: x ∉ x}, no és un conjunt, ya que de lo contrari du a la paradoxa de Russell.
• La classe de tots els conjunts , cridada classe universal, és una classe pròpia, per ser R una subclasse d'esta, R ⊆ V.
• La classe de tots els ordinals On no és un conjunt, ya que dona lloc a la paradoxa de Burali-Forti.
• La classe de tots els cardinals ben ordenats també és una classe pròpia, per estar en correspondència biyectiva en On.

• La classe de tots els número cardinal és una superclase de l'anterior, per lo que no és un conjunt.

Referències

• Holmes, M. Randall. Edward N. Zalta (ed.): «Alternative Axiomatic Set Theories» (en anglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Archivat des d'el original, el 28 de març de 2012. Consultat el 23 de març de 2012.
• Jech, Thomas (2003). Set Theory, 3ª edició (en anglés), Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• (1979) Basic Set Theory (en anglés), Berlín, New York: Springer-Verlag.
• Set Class en MathWorld.