Teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel

La teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Gödel (denotada NBG) és una teoria de conjunts axiomàtica. La seua noció primitiva és la de classe, en lloc de conjunt com en la teoria de Zermelo-Fraenkel (denotada ZF). A diferència d'atres teories de conjunts, NBG és finitamente axiomatizable.

Ontologia

Sent una teoria de conjunts, les nocions primitives de NBG són classe X i pertinença ∈. No obstant, aun cuando les classes retenen el seu significat com a «coleccions d'objectes», es reserva la paraula conjunt per a un tipo especial de classes en una propietat adicional:

A les classes que no són conjunts li les denomina classes pròpies. Entre les classes pròpies es troben la classe universal V, la classe de tots els ordinals On, etc. No obstant, els axioma de NBG postulen algunes propietats només per a conjunts —no per a qualsevol classe— , de tal modo que en NBG s'eviten les clàssiques paradoxes de la teoria de conjunts.

Axioma

Notació

En els axioma de NBG es distinguix entre classe i conjunt, i habitualment s'utilisen lletres minúscules per a especificar conjunts:

Axioma generals

El primer grup de axioma és bàsicament equivalent a les seues corresponents versions en ZF.

• Extensionalidad. Dos classes són iguals si i només si tenen els mateixos elements.

$\mathrm{\forall }X,Y:X=Y\leftrightarrow \mathrm{\forall }z(z\in X\leftrightarrow z\in Y)$

• Parell. Donats dos conjunts existix un tercer que els conté només a abdós:

$\mathrm{\forall }X,Y\mathrm{\exists }Z:\mathrm{\forall }W(W\in Z\leftrightarrow W=X\vee W=Y)$

• Unió. Donats dos conjunts, existix un tercer que conté als elements d'abdós:

$\mathrm{\forall }X,Y\mathrm{\exists }Z:\mathrm{\forall }w(w\in Z\leftrightarrow w\in X\vee w\in Y)$

• Conjunt buit. Existix un conjunt sense elements:

$\mathrm{\exists }X\mathrm{\forall }y:y\notin X$

• Reemplace. Donada una classe F que siga una funció, l'image d'un conjunt qualsevol per F és també un conjunt:

$\mathrm{\forall }F,\text{Fun}F\Rightarrow \mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y:\mathrm{\forall }z,z\in y\leftrightarrow \mathrm{\exists }w\in xz=F(w)\wedge \text{cto}F(x)$

Esta formulació de l'axioma de tongada està compresa en una única sentència, a diferència de la formulació habitual en ZF que és un esquema axiomàtic.

Axioma de formació de classes

NBG té la propietat particular de ser finitamente axiomatizable, açò és, pot establir-se en un número finito de axioma. ZF no compartix esta propietat, puix el seu axioma de tongada és en realitat un esquema axiomàtic, una afirmació del tipo: «Donada una fòrmula φ(x) la següent sentència és un axioma de ZF...». En NBG també pot utilisar-se un esquema de formació de classes a partir d'una fòrmula donada, pero és possible demostrar dit esquema a partir d'una colecció finita de casos particulars:

• Intersecció. Donades dos classes existix una tercera que conté els elements comuns a abdós:

$\mathrm{\forall }XY\mathrm{\exists }Z,\mathrm{\forall }w(w\in Z\leftrightarrow w\in X\wedge w\in Y)$

• Complement. Donada una classe existix una atra que conté tots conjunts que no estan en la primera:

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y,\mathrm{\forall }z(z\in Y\leftrightarrow z\notin X)$

• Pertinença. Existix la classe de la relació binaria de pertinença entre conjunts:

$\mathrm{\exists }X\mathrm{\forall }uv,(u,v)\in X\leftrightarrow u\in v$

• Domini. El domini —entés en el sentit del domini d'una funció— d'una classe sempre existix:

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }u(u\in Y\leftrightarrow \mathrm{\exists }v(u,v)\in X)$

• Producte cartesiano. Donada una classe X, existix una atra que conté tots els parells ordenats en primers elements en X:

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }uv,(u,v)\in Y\leftrightarrow u\in X$

I per últim dos axioma que permuten les n-tuplas ordenades d'una classe donada de diverses maneres:

• Permutació 1.

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }uvw,(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (w,u,v)\in X$

• Permutació 2.

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }uvw,(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X$

D'esta manera, combinant estos «casos particulars» en els axioma generals pot demostrar-se un esquema axiomàtic per a fòrmules que parlen solament de conjunts:

Si es prescindix d'estos axioma i en el seu lloc s'adopta l'esquema de formació de classes, s'obté una axiomatización alternativa de NBG, pero no finita. Si s'elimina d'estos axioma la restricció a fòrmules sense variables de classe quantificades s'obté la teoria de conjunts de Morse-Kelley.

Axioma adicionals

Ademés d'estos axioma inicials, és necessària una série de axioma per a que la teoria de conjunts continga els aspectes estàndar que s'usen en la matemàtica.

• Parts. Donat un conjunt, existix un atre format per la totalitat dels subconjunts del primer:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y,\mathrm{\forall }z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)$

• Infinit. Existix un conjunt inductivo:

$\mathrm{\exists }x,\varnothing \in x\wedge \mathrm{\forall }y\in x,y\cup \{y\}\in x$

• Regularitat. Tota classe no buida conté una classe disjunta en si mateixa:

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }Y\in X,X\cap Y=\varnothing$

l'axioma d'elecció pot afegir-se també a la llista:

• Elecció. Donat un conjunt, existix una funció d'elecció sobre els seus elements no buits:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }f,\text{Fun}f\wedge \text{Dom}f=x\wedge \mathrm{\forall }u\in x,u\ne \varnothing \to f(u)\in u$