Conjunt universal

En matemàtiques, principalment en teoria de conjunts i llògica de classes, un conjunt universal és un conjunt format per tots els objectes d'estudi en un context donat. Per eixemple, en aritmètica els objectes d'estudi són els número natural, per lo que el conjunt universal per a este cas pot ser el conjunt dels número natural N. Al conjunt universal també se li denomina conjunt referencial, univers del discurs o classe universal, segons el context, i es denota habitualment per O o V.

L'elecció d'un conjunt universal es fa per conveniència, per a establir una distinció clara entre els objectes matemàtics, tots ells en el conjunt universal; i els conjunts formats per dits objectes, tots ells subconjunts del conjunt universal. Triat un conjunt universal, per a cada conjunt d'objectes existix el seu complementari, que conté tots els elements que no estan en dit conjunt.

En teoria de conjunts, els objectes matemàtics estudiats inclouen als propis conjunts. El conjunt universal comprendria llavors, no sol objectes simples com a números, sino també conjunts de números, conjunts de conjunts de números, etc. No obstant, en este cas supondre l'existència d'un conjunt universal du una contradicció coneguda com la paradoxa de Russell.

Propietats

El rectàngul es correspon en un cert conjunt universal O. El conjunt A ocupa l'àrea delimitada pel seu contorn, i la superfície blava és el seu complementari A^∁ : tota l'àrea de O que no pertany a A.

Una volta que s'ha establit un conjunt universal O d'elements d'una certa classe, s'assumix que tots els conjunts A contenen elements d'esta classe, per lo que tots ells són subconjunts de O. Açò comporta una série de propietats:

El conjunt universal és llavors l'element absorbent de l'unió i l'element neutre de l'intersecció. Una volta definit un conjunt universal, pot definir-se el conjunt complementari d'un atre, a partir de l'operació de diferència de conjunts:

$A^{\complement }=U\setminus A$

Açò dona lloc a les següents propietats:

Classe universal

Vore també: Paradoxa de Russell i Classe (teoria de conjunts)

El concepte de conjunt universal es definix com la colecció de tots els objectes matemàtics en estudi, sense considerar als propis conjunts d'objectes. Per eixemple, en treballar en els número real, el conjunt universal és el conjunt de tots els número real R, en el que no està inclós cap conjunt d'número real, com l'interval [0, 1] o els reals positius R⁺.

En teoria de conjunts, els objectes matemàtics en estudi són els propis conjunts, sent els elements d'estos qualssevol objectes matemàtics o atres conjunts inclús. En estes condicions, no es pot definir un conjunt universal sense caure en una contradicció, per la paradoxa de Russell. Si dit conjunt V existira, llavors estaria perfectament justificada l'existència de l'anomenada classe de Russell com un subconjunt d'est:

$R=\{x\in V:x\text{ es un conjunto y }x\notin x\}\subseteq V$

ya que l'existència de R és contradictòria, també ho és la de V. Ademés, un conjunt universal tindria algunes propietats inusuals com:

$V\in V,𝒫(V)=V,$

a on P(V) denota el conjunt potencia. Els axioma habituals de la teoria de conjunts eviten esta paradoxa establint una distinció entre conjunts pròpiament dits i classes: coleccions d'objectes que no necessàriament compartixen totes les propietats associades als conjunts. D'esta manera, V i R són classes pero no conjunts. Atres teories de conjunts com NF sí permeten l'existència d'un verdader conjunt universal, a canvi de complicar els axioma.

Referències

• Devlin, Keith (2005). «3.2. Operations on sets», Sets, functions and logic (en anglés). ISBN 1-58488-449-5.

• Jech, Thomas (2003). Set Theory, 3ª edició (en anglés), Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Vore també

• Conjunt
• Teoria de conjunts
• Àlgebra de conjunts