Conjunt infinit
En teoria de conjunts, un conjunt infinit és un conjunt que no és finit. Alguns eixemples són: Els número entero Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} formen un conjunt infinit i numerable. Els punts en una recta, representats per un número real, formen un conjunt infinit i no numerable.
Definició de Propietats
Un conjunt finit A és aquell que té un número finit d'elements, o d'un atre modo, que pot posar-se en correspondència biunívoca en un conjunt del tipo {1, 2, 3, …, n}, a on n és un número natural. Açò significa que podem emparellar els elements de A i els de {1, 2, 3, …, n} sense que sobre cap. Si un conjunt no verifica açò, llavors és infinit:
|
Els conjunts infinits posseïxen les següents propietats:
Encara que cap número natural es correspon en el número d'elements d'un conjunt infinit, es poden «contar» la cantitat de dits elements usant números transfinitos. Pot entendre's llavors que els conjunts infinits «més menuts» són els conjunts numerables, com el conjunt dels número natural.
Definició alternativa
El número d'elements d'un conjunt finit és un número natural, i qualsevol dels seus subconjunts és també finit i té menys elements. Un conjunt infinit no obstant pot tindre el mateix tamany que una part de sí mateixa. Per eixemple, el conjunt dels número natural i el conjunt dels número par tenen el «mateix número d'elements», ya que els seus elements poden emparellar-se perfectament:
- 1, 2, 3, 4, ...
- 2, 4, 6, 8, ...
i no obstant els número par són un subconjunt dels número natural, {2, 4, 6, ...} &puja; {1, 2, 3, ...}. Existix una definició alternativa de conjunt infinit basada en esta propietat característica:
|
Aspectes formals
En teoria de conjunts, les dos definicions presentades per a conjunt infinit (i complementariamente per a conjunt finit) són rigoroses. La primera d'elles es basa en la noció de número natural, que pot definir-se en precisió com un ordinal menor que qualsevol ordinal llímit. Un conjunt finit és llavors un conjunt equipotente a un número natural:
La segona d'elles va ser proposta històricament per Richard Dedekind, i es basa en la propietat de tindre subconjunts propis tan grans com sí mateix. Per a distinguir-la de l'anterior, es denomina en ocasions de manera distinta:
Tot conjunt Dedekind-infinit és infinit «ordinari», i equivalentemente que tot conjunt finit «ordinari» és Dedekind-finit. No obstant, abdós conceptes no són completament equivalents. L'implicació inversa pot demostrar-se si s'assumix l'axioma d'elecció (AE), o inclús una versió més dèbil com l'axioma d'elecció numerable (AEN). No obstant és impossible provar-la partint únicament del restant de axioma habituals de la teoria de conjunts. Ademés, l'equivalència d'abdós definicions és una propietat més dèbil que AE i AEN: és impossible provar estos últims assumint que tot conjunt infinit és també D-infinit.
Vore també
- Conjunt finit
- Conjunt infinit
Referències
- Herrlich, Horst (2006). «4.1. Finiteness», Axiom of choice (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5.
- Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»..
- Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto infinito» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.