Número cardinal

El cardinal indica el número o cantitat d'elements d'un conjunt, siga esta cantitat finita o infinita. Els número cardinal constituïxen una generalisació interessant del concepte de número natural, permetent comparar la cantitat d'elements de conjunts infinits. Donat un conjunt ___*$A$, el cardinal d'este conjunto se simboliza per mig de $|A|$, $\text{n}(A)$, $\text{card}(A)$o $\mathrm{\#}A$. per eixemple, si $A$ tiene tres elementos, el cardinal se indica así: $|A|=3$.

Història

El concepte de número cardinal va ser desenrollat i propost per Georg Cantor, en 1874, qui ho va ampliar a conjunts infinits, ya que per a conjunts finitos el concepte de cardinal és trivial. Primer va establir el concepte de cardinalidad com una ferramenta per a comparar conjunts finitos. Per eixemple, els conjunts {1,2,3} i {2,3,4} són distints, pero abdós tenen cardinalidad 3.

• Cantor va definir el conteo usant la correspondència biunívoca, la qual mostrava fàcilment que dos conjunts finitos tenien la mateixa cardinalidad si hi havia una relació biyectiva entre els seus elements. Esta correspondència un a un li va servir per a crear un concepte de conjunt infinit. Mentres que alguns conjunts infinits estan en biyecció en el conjunt de número natural (___*$\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, ...}), Cantor publicó en 1891 una demostración de que hay conjuntos infinitos más grandes que el de naturals (su famoso argumento diagonal). Nombró el cardinal de $\mathbb{N}$: ${\mathrm{\aleph }}_0$. Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturals (como els pares) tienen cardinalidad ${\mathrm{\aleph }}_0$, debido a que era posible establecer la relació biunívoca con $\mathbb{N}$.

Propietats del cardinal d'un conjunt

Els conjunts poden ser dividits en classes d'equivalència definides en funció de la relació d'equivalència que inclou a un parell de conjunts si i solament si entre estos existix una biyecció. Cardinalidad d'un conjunt seria la classe d'equivalència a la qual est pertany. Tindre dos conjunts ___*$A$, $B$ con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al misme cardinal) se denota:

$\left|A\right|=\left|B\right|$

o bien

$\mathrm{\#}A=\mathrm{\#}B$

La existencia d'una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relació d'orden entre sus cardinals; es decir:

$\left|A\right|{\le }_{\mathrm{\#}}\left|B\right|\iff \mathrm{\exists }f:A\to B,\text{inyectiva}$

La relació ${<}_{\mathrm{\#}}$ excluye la posibilidad que els cardinals sean iguals.
Es posible demostrar que si

$\left|A\right|{\le }_{\mathrm{\#}}\left|B\right|$

y

$\left|B\right|{\le }_{\mathrm{\#}}\left|A\right|$

esto implica que:

$\left|A\right|=\left|B\right|$

El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero):

$\text{card}(\varnothing )=0$

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes són conjuntos infinitos) es el cardinal dels naturals, y se denota usualmente por $\omega$. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre els ordinals y els cardinals de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden dels ordinals y el ${\le }_{\mathrm{\#}}$-orden en els cardinals). Esta función, llamada $\mathrm{\aleph }$ (Álef), induce un buen orden en els cardinals, y d'aquí proviene la notación ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$ per al primer cardinal infinito, ${\mathrm{\aleph }}_1$ per al següent, etc.

Cardinal del conjunt potencia

Existix una relació entre el cardinal d'un conjunt i el conjunt de parts o conjunt potència:

___*$|A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^n$

a on $|P(A)|$ es el cardinal del conjunto de partes de $A$.

Cardinals transfinitos

Artícul principal → Número transfinito.

Els número cardinal d'alguns conjunts es representen en símbols especials:

• El cardinal dels número real: ___*$\text{card}(ℝ)=c$.
• El cardinal dels números naturals: $\text{card}(\mathbb{N})={\mathrm{\aleph }}_0$ (Alef-0).
• El cardinal inmediatamente superior a ${\mathrm{\aleph }}_0$: ${\mathrm{\aleph }}_1$

Puede comprobarse que els tres cardinals anteriors cumplen ${\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1\le c$. l'hipótesis del continuo afirma que d'hecho $c={\mathrm{\aleph }}_1$. Gödel va provar en 1938 que esta hipòtesis és consistent en els axiomas ZF, i per tant pot ser pres com un axioma nou per a la teoria de conjunts. No obstant, en 1963 Paul Cohen va provar que la negació de l'hipòtesis del continu també és consistent en els axioma ZF, lo que prova que dita hipòtesis és totalment independent dels axioma ZF. És dir, poden construir-se tant "teories de conjunts cantorianas" en les que l'hipòtesis del continu és una afirmació certa, com "teories de conjunts no cantorianas" en les que l'hipòtesis del continu siga falsa. Esta situació és similar a la de les geometria no euclídeas.

Definició formal de cardinal

Artícul principal → Número cardinal (teoria de conjunts).

En teoria de conjunts s'ampren definicions una miqueta més abstractes de cardinal, que requerixen de la definició dels ordinals. En eixe context es definix la cardinalidad d'un ordinal com:

Com qualsevol conjunt d'ordinals és sempre un conjunt ben ordenat, sempre existirà un mínim en eixa definició. Un cardinal és un ordinal que complix que:

Tots els cardinals formen una classe dins dels ordinals. De fet, en certa manera la classe de tots els cardinals és una classe de "ordinals inicials" en el sentit de que un cardinal és un ordinal tal que no existix cap atre ordinal del mateix tamany. En particular, tots els ordinals regulars són cardinals. També és cert que tots els cardinals són ordinals llímits, encara que només els ordinals llímit regulars són cardinals (existixen més ordinals llímit que cardinals).

Eixemples de càlcul del cardinal d'un conjunt

Conjunts finitos

El cardinal conjunt finito A = {2,4,5} és 3. Resulta trivial demostrar que esta funció és inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

___*$f(x)=\{\begin{array}{ccc}1,& \text{si}& x=2\\ 2,& \text{si}& x=4\\ 3,& \text{si}& x=5\end{array}$

Conjunts infinits

Número natural

El cardinal del conjunt infinit P = {x ∈ ___*$\mathbb{N}$ | x es par } formado pels números pares es ${\mathrm{\aleph }}_0$. per a demostrarlo basta con definir les funciones:

$\begin{array}{cccc}f:& P& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & y=f(x)=\frac{x}{2}\end{array}\begin{array}{cccc}g:& \mathbb{N}& ⟶& P\\ & x& \mapsto & y=g(x)=2x\end{array}$

Demostrando la inyectividad d'ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es ${\mathrm{\aleph }}_0$. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturals que pares (porque, per eixemple, el 1 es natural y no está incluido en els pares), demostramos que estos conjuntos són equipotentes. El conjunto de pares ordenados (o, más generalmente, de n-tuplas) de números naturals tiene un cardinal ${\mathrm{\aleph }}_0$. Esto se puede probar numerando els pares de números naturals anti-diagonalmente. atre modo de demostrar es que $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ tiene el misme cardinal que un subconjunto infinito dels naturals:

$\begin{array}{cccc}g:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x,y& \mapsto & z=g(x,y)=3^x\cdot 2^y\end{array}$

Al ser 3 y 2 números primos, per a cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y $\mathrm{card}(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\le \mathrm{card}(\mathbb{N})$

Número racional

El conjunt dels Número racional ___*$\mathbb{Q}$ tiene un cardinal igual a ${\mathrm{\aleph }}_0$. Este resultado desafía un poco la intuición porque d'un lado el conjunto dels racionals es "denso" en $ℝ$, que tiene cardinal $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. d'hecho, estudiando un poco la topología dels números reals, tenemos que entre dos números reals existe siempre un número racional, y entre dos racionals siempre hay un real irracional. Eso podría hacer pensar que $\mathbb{Q}$ y $ℝ$ són comparables según el número d'elementos, pero resulta que $\mathbb{Q}$ solo tiene tantos elementos como $\mathbb{N}$, siendo el número d'elementos de $ℝ$ un infinito muy superior al número d'elementos de $\mathbb{Q}$. per a comprobar que en efecto el conjunto $\mathbb{Q}$ es numerable y por lo tanto tiene el misme cardinal que els naturals, podemos ver que existe una función inyectiva $i_{\mathbb{Q}}$. Si un número racional q es igual a r/s, siendo estos dos números primos relatius entre sí, entonces definimos:

$\begin{array}{cccc}{i}_{\mathbb{Q}}:& \mathbb{Q}& ⟶& \mathbb{N}\times \mathbb{N}\\ & q& \mapsto & i_{\mathbb{Q}}(q)=(r,s)[\mathrm{mcd}(r,s)=1]\end{array}$

Esto demuestra que $\text{card}(\mathbb{Q})\le \text{card}(\mathbb{N}\times \mathbb{N})$, y como $\text{card}(\mathbb{N}\times \mathbb{N})=\text{card}(\mathbb{N})$ y els naturals són asimilables a un conjunto dels racionals, tenemos la cadena de desigualdades:

$\text{card}(\mathbb{N})\le \text{card}(\mathbb{Q})\le \text{card}(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\le \text{card}(\mathbb{N})$

Por lo tanto:

$\mathrm{card}(\mathbb{Q})=\mathrm{card}(\mathbb{N})$

Aritmètica de cardinals

Daus dos conjunts disjuntos ___*$𝒜$ y $ℬ$ con cardinals respectius $A$ y $B$, se define el principio de la suma y el principio del producto per a la suma y multiplicación de cardinals como:

$A+B=|𝒜\cup ℬ|,A\cdot B=|𝒜\times ℬ|$

Cuando els dos conjuntos són finitos, la aritmética de cardinals se reduce a la aritmética de números naturals. Sin embargo, cuando alguno dels dos conjuntos es infinito se tiene una extensión consistente de la aritmética de números naturals. Existen algunas relaciones aritméticas interesantes entre cardinals transfinitos:

• El cardinal de la unión de dos conjuntos coincide con el de mayor cardinal: $A+B=\max (A,B)$
• El cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos coincide con el de mayor cardinal: $A\cdot B=\max (A,B)$

La exponenciación de cardinals se define a partir del conjunto de funciones d'entre els dos conjuntos $𝒜$ y $ℬ$:

$A^B=|\{f:ℬ\to 𝒜\}|=|{𝒜}^{ℬ}|$

Con les definiciones anteriors es inmediato comprobar que:

$\stackrel{n}{\overbrace{A+\dots +A}}=n\cdot A,\stackrel{n}{\overbrace{A\cdot \dots \cdot A}}=A^n$

Vore també

• Contar
• Álef
• Número ordinal (teoria de conjunts)
• Número cardinal

Conjunt finito

Conjunt infinit

Conjunt numerable

Espai compacte

Conjunt no numerable

Hipòtesis del continu

Enllaços externs

• Cardinal Number en MathWorld.
• numeroscardinals. com Número cardinal