Kurt Gödel

Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel ([ˈkʊʁt ˈɡøːdəl]; Brünn, Imperi austrohúngaro, actual República Checa, 28 d'abril de 1906-Princeton, Estats Units; 14 de giner de 1978), conegut com Kurt Gödel, fon un llògic, matemàtic i filòsof austríac.

Se li considera un dels llògics més importants de tots els temps. El seu treball ha tingut un impacte immens en el pensament científic i filosòfic de el XX. De la mateixa manera que atres pensadors —com Gottlob Frege, Bertrand Russell, A. N. Whitehead i David Hilbert—, Gödel va intentar amprar la llògica i la teoria de conjunts per a comprendre els fonaments de la matemàtica.

Se li coneix sobretot pels seus dos teoremes de la incompletitud, publicats en 1931, un any despuix de finalisar el seu doctorat en l'Universitat de Viena. El més célebre establix que para tot sistema axiomàtic recursivo autoconsistent lo suficientment poderós com per a descriure l'aritmètica dels número natural (l'aritmètica de Peano), existixen proposicions verdaderes sobre els naturals que no poden demostrar-se a partir dels axiomas. Per a demostrar esta teorema, va desenrollar una tècnica denominada ara numeració de Gödel, que codifica expressions formals com a número natural.

També va demostrar que l'hipòtesis del continu no pot refutarse des dels #axioma acceptats de la teoria de conjunts, si dits #axioma són consistents. Va realisar importants contribucions a la teoria de la demostració en clarificar les conexions entre la llògica clàssica, la llògica intuicionista i la llògica modal.

Vida

Infància

Kurt Friedrich Gödel va nàixer el 28 d'abril de 1906 en Brünn, la capital de la Moravia austrohúngara (actualment Brno, República Checa) en una família acomodada d'ètnia germana. El seu pare, Rudolf August Gödel, era un home de negocis i administrador d'una fàbrica de textils. La seua mare, Marianne Gödel (naixcuda Handschuh), una dòna educada i culta, que va permanéixer propenca a Gödel durant tota la seua vida, tal com pot observar-se en l'extensa correspondència entre abdós. En el moment del seu naiximent, la majoria de la població de la seua ciutat era de parla alemana i est era l'idioma dels seus pares.

Gödel, que parlava molt poc el chec, es va convertir automàticament en checoslovac a l'edat de 12 anys, despuix de la caiguda del Imperi austrohúngaro al final de la Primera Guerra Mundial. Posteriorment li va contar al seu biógraf John W. Dawson que durant eixe temps se sentia com un «exiliat austríac en Checoslovàquia» (ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei). Va decidir convertir-se en ciutadà austríac als 23 anys. Quan l'Alemània nazi anexionó Àustria, Gödel es va convertir automàticament en ciutadà alemà, als 32 anys. Despuix de la Segona Guerra Mundial, als 42 anys, es va convertir en ciutadà nortamericà.

La seua família cridava al jove Kurt Herr Warum (Sr. Per qué), pel seu insaciable curiositat. L'única excepció a una infància sense incidents va ser que a partir dels quatre anys va sofrir quebrantos de salut i febres reumáticas. Es va recuperar completament, pero tota la seua vida va quedar convençut de que el seu cor havia sofrit un dany permanent.

Va assistir a l'escola primària i secundària en idioma alemà en Brno, de la que es va graduar en honors en 1923 i va descollar en matemàtiques, idiomes i religió. En el transcurs de la seua adolescència va estudiar, entre atres matèries, la Teoria dels colors de Goethe, crítiques d'Isaac Newton i l'obra d'Immanuel Kant.

Estudis en Viena

Als 18 anys, Kurt es va reunir en el seu germà major Rudolf (naixcut en 1902) i va ingressar en l'Universitat de Viena. Llavors ya dominava les matemàtiques a nivell universitari. Encara que al principi va pretendre estudiar física teòrica, també va assistir a cursos de filosofia impartits per Heinrich Gomperz i de matemàtiques. Durant este periodo va adoptar idees del empirisme matemàtic, va llegir els Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Fonaments metafísics de la ciència natural) de Kant. Encara que ell mateixa no va ser un positiviste llògic, va participar en reunions del Círcul de Viena en Moritz Schlick, Hans Hahn i Rudolf Carnap, sent estos dos últims d'els qui va deprendre llògica. Despuix va estudiar també la teoria dels números. Va assistir a un seminari dirigit per Schlick, en que s'estudiava el llibre Introducció a la llògica matemàtica de Bertrand Russell, lo que li va motivar a interessar-se per la llògica matemàtica.

La seua assistència a una conferència de Hilbert sobre la completud i la consistència dels sistemes matemàtics va poder decidir el curs de la seua vida. En 1928, Hilbert i Wilhelm Ackermann varen publicar els Grundzüge der theoretischen Logik (Principis de llògica teòrica), una introducció a la llògica de primer orde en la qual es plantejava el problema de la completitud: «¿Són suficients els #axioma d'un sistema formal per a derivar cada una de les proposicions verdaderes en tots els models del sistema?». Est va ser el tema elegit per Gödel per a la seua dissertació doctoral. En 1929, als 23 anys, va completar la seua dissertació baix la supervisió d'Hans Hahn, en la qual Gödel va establir la completud del càlcul de predicats de primer orde (este resultat es coneix ara com el teorema de completitud de Gödel). El doctorat se li va concedir en 1930. La seua tesis, junt a treball adicional, va ser publicada per l'Acadèmia de Ciències de Viena.

Obra en Viena

En 1931 Gödel va publicar els seus célebres teoremes de la incompletud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposicions formalment indecidibles de Principia Mathematica i sistemes relacionats). En dit artícul va demostrar que para tot sistema axiomàtic computable que siga lo suficientment poderós com per a descriure l'aritmètica dels número natural (p. eix. els #axioma de Peano (o ZFC), llavors:

1. Si el sistema és coherent no pot ser complet. (A açò generalment se li coneix com el teorema de la incompletitud).
2. La consistència dels axiomas no pot demostrar-se en l'interior del sistema.

Estes teoremes varen finalisar mig sigle d'intents acadèmics (començant en el treball de Frege i culminant en els Principia Mathematica i en el formalisme de Hilbert) per trobar un conjunt de #axioma suficient per a tota la matemàtica. La teorema de la incompletud implica també que no tota la matemàtica és computable.

L'idea bàsica de la teorema de la incompletud és prou simple. Essencialment, Gödel va construir una fòrmula que assegura ser no-demostradora per a cert sistema formal. Si fora demostrador seria falsa, lo que contradiu el fet de que en un sistema consistent les proposicions demostradores són sempre verdaderes. De modo que sempre hi haurà per lo manco una proposició verdadera pero no demostradora. Açò és, per a tot conjunt de #axioma de l'aritmètica construible per l'home existix una fòrmula que s'obté de l'aritmètica pero és indemostrable en eixe sistema. No obstant, per a precisar açò Gödel necessitava resoldre vàries qüestions tècniques, tals com a proposicions de codificació i el concepte mateix de demostrabilidad en la teoria dels número natural. Açò últim ho va realisar per mig d'un procés denominat numeració de Gödel.

En el seu ensaig de dos pàgines Zoom intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Gödel refutó la “valuabilidad” finita de la llògica intuicionista. En la demostració va amprar implícitament lo que despuix es va conéixer com la llògica intermija de Gödel–Dummett (o Gödel fuzzy logic).

Gödel va rebre el seu habilitació en l'Universitat de Viena en 1932, i en 1933 es va convertir en Privatdozent (permís per a ensenyar i examinar de forma independent en l'universitat). L'ascensió d'Hitler en Alemània en 1933 va afectar poc a Gödel en Viena, ya que tenia poc interés en la política. No obstant, en 1936 es va vore molt afectat per l'assessinat de Moritz Schlick (el seminari del qual havia despertat el seu interés per la llògica) a mans de l'estudiant Hans Nelböck, qui va declarar que va matar a Schlick «per difondre idees antimetafísicas que minen la moral i la cohesió de la vida». Este incident li va provocar un colapse nerviós i la seua primera crisis de paranoia. Dos anys despuix, despuix del Anschluss, l'assessí va ser lliberat i es va declarar nazi.

Visites als Estats Units

En 1933, Gödel va viajar per primera volta als Estats Units a on va conéixer a Albert Einstein, en qui va estretir llaços d'amistat. Va presentar una conferència en la reunió anual de la Societat Nortamericana de Matemàtiques. En el transcurs d'eixe any, Gödel també va desenrollar idees sobre la computabilidad i la funció recursiva, i va impartir una conferència sobre dites funcions i sobre el concepte de veres. Posteriorment, este treball es va desenrollar en la teoria dels números, amprant la numeració de Gödel.

En 1934, Gödel va impartir una série de conferències en l'Institut d'Estudis Alvançats (IEA) en Princeton, titulada Sobre les proposicions indecidibles dels sistemes matemàtics formals. Stephen Kleene, qui acabava de finalisar el seu doctorat en Princeton, va prendre notes d'esta conferència, que es varen publicar posteriorment.

Gödel visitaria novament el IEA en autumne de 1935, pero els viages i l'intens treball ho havien extenuado. L'any següent va convalecer recuperant-se d'una depressió. No va retornar a la docència fins a 1937. Durant eixe temps, es va dedicar a provar la consistència del axioma d'elecció i a l'hipòtesis del continu, treball que va continuar fins a mostrar que estes hipòtesis no poden refutarse des del sistema comú de #axioma de la teoria de conjunts.

El 20 de setembre de 1938 va contraure matrimoni en Adele Nimbursky (naixcuda Porkert, 1899-1981), a la que coneixia des de feya 10 anys. Els pares de Gödel s'oponien a esta relació. perque es tractava d'una ballarina divorciada i sis anys major que ell. Mai varen tindre fills.

Posteriorment va realisar una atra visita als Estats Units, a on va passar l'autumne de 1938 en el IEA i la primavera de 1939 en l'Universitat de Notre Dona'm. Durant les seues vacacions del IEA, Gödel i la seua esposa Adele varen passar l'estiu de 1942 en Blue Hill, Maine. No obstant Gödel no solament estava descansant, puix va tindre un estiu de treball molt productiu. John W. Dawson, Jr. conjectura que durant eixes vacacions Gödel, amprant el volum 15 de la seua obra encara sense publicar Arbeitshefte (Quaderns de notes), va descobrir una prova de l'independència de l'axioma d'elecció de la teoria finita de tipos, una forma debilitada de la teoria de conjunts. Hao Wang, amic propenc de Gödel, recolza dita conjectura, senyalant que els quaderns de notes de Blue Hill contenen el seu tractament més extens del problema.

Treball en Princeton

Despuix del Anschluss en 1938, Àustria va passar a formar part de l'Alemània nazi. Alemània va abolir el títul de Privatdozent, de modo que Gödel va tindre que concursar a un càrrec diferent en el nou orde. No obstant, els seus vínculs anteriors en membres judeus del Círcul de Viena, especialment en Hans Hahn, pesaven en contra seua. La seua situació es va precipitar a finals de 1939, quan se li va trobar apte per al servici militar, arriscant-ho a ser cridat a les files de l'eixèrcit alemà durant l'II Guerra Mundial. Per esta raó va emigrar cap als Estats Units per a assumir un càrrec docent en el IEA. Gödel i la seua esposa varen tindre que prendre el Ferrocarril Transiberiano fins al Pacífic, navegant des de Japó fins a Sant Francisco (a on varen aplegar el 4 de març de 1940), i despuix varen creuar els Estats Units en tren fins a Princeton.

Ràpidament va reprendre el seu treball en matemàtiques i en 1940 va publicar la seua obra Consistència del axioma d'elecció i de l'hipòtesis del continu generalisada en els #axioma de la teoria de conjunts, que constituïx un clàssic de la matemàtica moderna. En dit treball va introduir l'univers construible, un model de la teoria de conjunts en el qual els únics conjunts que existixen són aquells que poden construir-se a partir de conjunts més simples. Gödel va mostrar que tant l'axioma d'elecció (AC) i l'hipòtesis del continu generalisada (HCG) són verdaderes en l'univers construible i per lo tant deuen ser consistents en els #axioma de Zermelo-Fraenkel per a la teoria de conjunts (ZF). Posteriorment Paul Cohen va construir un model de ZF en el qual AC i HCG són falsos. En conjunt, estes demostracions signifiquen que AC i HCG són independents dels #axioma de ZF per a la teoria de conjunts.

Cap al final de la década de 1940, Gödel va demostrar l'existència de solucions paradòxiques a les equacions de camp de la relativitat general d'Albert Einstein. Estos «#univers rotatoris» permetrien viajar en el temps i varen provocar dubtes en Einstein sobre la seua pròpia teoria. Les seues solucions es coneixen com la mètrica de Gödel (o l'Univers de Gödel).

Durant els seus molts anys en l'Institut, els interessos de Gödel es varen tornar cap a la filosofia i la física. Va estudiar i va admirar les obres de Gottfried Leibniz, pero va aplegar a la conclusió (sense evidència) de que la major part del treball de Leibniz havia segut suprimida. En menor mida també va estudiar a Kant i a Edmund Husserl. Al principi dels anys 1970, Gödel va distribuir entre les seues amistats una elaboració de la demostració ontològica de Leibniz sobre l'existència de Deu, la qual es coneix ara com la demostració ontològica de Gödel.

En 1946, Gödel es va convertir en membre permanent del IEA. Al voltant d'este periodo va deixar de publicar, encara que va continuar treballant. Es va convertir plenament en professor de l'institut en 1955 i en professor emèrit en 1976.

En 1951, va ser reconegut (junt a Julian Schwinger) en el primer Premi Albert Einstein, i també va rebre la National Medal of Science en 1974.

Mort

En els seus últims anys, Gödel va sofrir de periodos d'inestabilitat i malaltia mental. Tenia temors obsessius a ser enverinat, i no menjava a menos que la seua esposa Adele preparara el seu menjar. A finals de 1977, Adele va ser hospitalisada durant sis mesos i no va poder continuar preparant-li el menjar. En la seua absència, Gödel va refusar menjar, fins al punt de deixar-se morir de fam. En el moment de la seua mort pesava uns 30 kg. El certificat de defunció en l'Hospital de Princeton, el 14 de giner de 1978, diu que va morir de «desnutrición i inanició causades per #destorbament en la personalitat».

Llegat i distincions

En el seu honor, en 1987 es va fundar la Kurt Gödel Society, una organisació internacional dedicada a la promoció de l'investigació en llògica, filosofia i història de les matemàtiques. En 1951, l'Universitat de Yale li va nomenar doctor honorari en lliteratura. També va rebre un doctorat honorari en ciències per l'Universitat d'Harvard en 1952, en una menció en la que se li va declarar «el descobridor de la veritat matemàtica més significativa del sigle». Va ser elegit membre de l'Acadèmia Nacional de Ciències en 1955 i de l'Acadèmia Nortamericana de les Arts i les Ciències en 1957. En 1961 va ingressar en la Societat Filosòfica d'Amèrica i en 1967 va ser elegit membre honorari de la Societat Matemàtica de Londres. Finalment, en 1975 el president Gerald Ford li va entregar la Medalla Nacional de les Ciències.

L'amistat de Gödel en Einstein

Albert Einstein i Gödel varen entaular una amistat llegendària, compartida en les caminades que donaven junts en el IEA de Princeton. La naturalea de les seues conversacions -que realisaven en alemà, l'idioma natiu d'abdós- va permanéixer en el misteri per als atres membres de l'Institut. L'economiste Oskar Morgenstern recorda que, cap al final de la seua vida, Einstein li va confiar que «el seu propi treball ya no importava molt, que aplegava a l'institut únicament per a tindre el privilegi de caminar a casa junt a Gödel».

Einstein i Morgenstern varen assessorar a Gödel per a l'examen de la seua ciutadania nortamericana, preocupats perque el comportament impredictible del seu amic posava en risc la seua oportunitat. Quan es va mencionar breument el règim nazi, Gödel va informar al juge que presidia l'examen que havia descobert una manera per la que una dictadura podria instaurar-se llegalment en els EE. UU., per mig d'una contradicció llògica en la Constitució. Posteriorment este postulat ha rebut el nom de fallo de Gödel. El juge, Einstein i Morgenstern li varen impedir terminar l'elaboració del seu pensament i se li va entregar la ciutadania.

Publicacions importants

En alemà:

• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.
• 1932, "Zoom intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.

En anglés:

• 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
• 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.

En traducció a l'anglés:

• Kurt Godel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
• Kurt Godel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems
• Archivat el 16 de setembre de 2004 archivat en Wayback Machine., tr. Martin Hirzel
• Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press.
  • 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582-91.
  • 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595-96. Abstract to (1931).
  • 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596-616.
  • 1931a. "On completeness and consistency," 616-17.

• My philosophical viewpoint, c. 1960, unpublished.
• The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy, 1961, unpublished.

• Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
  • Volume I: Publications 1929-1936 ISBN 0-19-503964-5,
  • Volume II: Publications 1938-1974 ISBN 0-19-503972-6,
  • Volume III: Unpublished Essays and Lectures ISBN 0-19-507255-3,
  • Volume IV: Correspondence, A-G ISBN 0-19-850073-4.
  • Volume V: Correspondence, H-Z ISBN 0-19-850075-0

En alemà i anglés

• Kurt Gödel, Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks. vol. 1: Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0. Philosophical Notebooks – Volume 1: Philosophy I Max 0. Ed. Eva-Maria Engelen. De Gruyter, 2019. ISBN 9783110585605. DOI https://doi.org/10.1515/9783110585605.
• Kurt Gödel, Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks. En: vol. 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II. Volume 2: Clave Management (Max) I and II. Ed. Eva-Maria Engelen, De Gruyter, 2020. ISBN 9783110674095. DOI https://doi.org/10.1515/ 9783110686586.

Gödel en la cultura popular

En la comèdia romàntica I.Q. (1994) dirigida per Fred Schepisi, es va dramatisar a Gödel com un personage secundari encarnat per l'actor Lou Jacobi; en el film apareix sense la seua paranoia i gojant plenament de la seua jubilació. En 2007 estudiants de la Nederlandse Filmacademie (Dutch) (Dutch Film Academy) es varen graduar en un curt de 25 minuts, dirigit per Igor Kramer en l'actor austríac Robert Stuc en el paper principal; un Gödel retirat es percata de que les seues afores són el decorat d'un rodage, lo que alimenta la seua paranoia.

En la película Oppenheimer de l'any 2023, Gödel apareix breument passejant junt a Einstein pels jardins de Princeton, interpretat per James Urbaniak.

Vore també

• Teoremes de incompletitud de Gödel
• Prova ontològica de Gödel
• Mètrica de Gödel, una solució exacta a l'equació de camp d'Einstein
• Teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel
• Teorema de completitud de Gödel
• Fallo de Gödel
• Premi Gödel
• Llenguage de programació de Gödel
• Gödel, Escher, Bach
• Els problemes mentals de Gödel

Bibliografia

Fonts primàries:

• Gödel, Kurt 1931 Sobre proposicions formalment indecidibles dels Principia mathematica i sistemes afins. Valéncia: Teorema, 1980 i 2.ª edició: 1981 ISBN 84-370-0168-4
• Gödel, Kurt 1931 Sobre proposicions formalment indecidibles dels Principia mathematica i sistemes afins. Oviedo: krk edicions, 2006. ISBN 978-84-96476-95-0
• Gödel, Kurt 1994: Ensajos inèdits. Francisco Rodríguez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori. ISBN 84-397-1966-3

• Gödel, Kurt 2007: Sobre consistència i completud en el sistema axiomàtic / Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Jesús Padilla Gálvez, editor i traductor, Mathesis, Série III, Vol. II - Nr 1, 197-204. (ISSN: 0185-6200).
• Gödel, Kurt 2006: Obres completes, Jesús Mosterín, editor, Madrit: Aliança, 2006. ISBN 84-206-4773-X

Fonts secundàries:

• Alonso, Enrique (2007). Sócrates en Viena. Una biografia intelectual de Kurt Gödel, Barcelona: Montesinos. ISBN 978-84-96831-33-9.
• Dawson, John William (1997). Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel, A K Peters. ISBN 9781568810256.
• Fernández-Prida, José. Una prova algebraica de les teoremes de Löwenheim-Skolem i Gödel, Universitat Complutense de Madrit. ISBN 978-84-600-5847-2.
• Fresán, Javier (2007). Gödel. La llògica dels escèptics, segona edició, Madrit: Nivola. ISBN 84-96566-39-0.
• Goldstein, Rebecca (2006,). Gödel. Paradoxa i vida, Barcelona. ISBN 978-84-95348-23-4.
• Hofstadter, Douglas R. (1989). Gödel, Escher, Bach: un Etern i Grácil Bucle, tercera edició, Barcelona: TusQuets editories. ISBN 84-7223-459-2.
• Wang, Hao (1991). Reflexiones sobre Kurt Gödel, Madrit: Aliança Universitat. ISBN 84-206-2690-2.
• Jesús Padilla Gálvez: Màximes i quaderns de notes. Dókos. Revista filosòfica, 27-28, 2021, 139-148.
• Prochazka, Jiri: Kurt Gödel /19O6-1978/ Curriculum vitae, I, Brno, Wien, Princeton 2O17 (isbn = 978-8O-9O3476-9-4)
• Prochazka, Jiri: Kurt Gödčl /19O6-1978/ Curriculum vita , II, Brno, Wien, Princeton 2O19 (isbn= 978-8O-9O3476-1-8)

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Kurt Gödel.
• Biografia de Kurt Gödel
• Archivat el 17 de giner de 2016 archivat en Wayback Machine.
• O'Connor, John J.

Robertson, Edmund F.. "MacTutor History of Mathematics archive"{{#if

|, episodi {{{numero}}}}..

• La situació present en els fonaments de les matemàtiques: traducció al castellà d'una conferència de 1933 a on Gödel expon la relació entre les seues teoremes de incompletud i les distintes propostes de fundamentación de la matemàtica.
• My philosophical viewpoint, c. 1960, unpublished.
• Recio, Gonzalo (2012). «Kurt Gödel i Sant Agustín : platonisme matemàtic i l'existència de Deu». Tábano. 2012, (8). ISSN 1852-7221.
• Proven que els arguments llògics de Gödel sobre l'existència de Deu són correctes