Número transfinito

Georg Cantor

En la teoria de conjunts, número transfinito és el terme original que el matemàtic alemà Georg Cantor va introduir per a referir-se a números ordinals infinits, que són majors que qualsevol número natural.

En la terminologia moderna, en referir-se a ordinals o cardinals, «transfinito» i «infinit» són sinònims. En la terminologia moderna, els cardinals són un tipo especial de número ordinal.

Primers números transfinitos

De la mateixa manera que en els número natural, pot pensar-se en els números transfinitos com cardinals o ordinals:

• ω (omega): és el menor ordinal transfinito. Els seus elements són els número natural, tal i com són construïts en teoria de conjunts, i representa el tipo d'orde d'estos.
• ℵ₀, alef-0: és el primer número alef, i el primer cardinal transfinito (assumint l'axioma d'elecció). És conjuntísticamente idèntic a ω, pero s'utilisen notacions diferents per a resaltar l'aspecte ordinal o cardinal dels conjunts numerables.
• ℵ₁, alef-1: és el segon número alef, i el cardinal següent a ℵ₀ (assumint l'axioma d'elecció).
• c = 2^ℵ₀: és el cardinal del continu, l'número cardinal dels punts d'una recta o dels número real.
• Ω (infinit absolut): és l'últim número falcat més llarc fins a la data. Falcat per Georg Cantor.

Assumint l'axioma d'elecció, tot lo que pot demostrar-se en els axioma de Zermelo-Fraenkel és:

${\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1\le c$

La hipòtesis del continu afirma que de fet $c={\mathrm{\aleph }}_1$. Kurt Gödel va provar en 1938 que esta hipòtesis és consistent en els axioma de Zermelo-Fraenkel (ZF), i per tant pot ser pres com un axioma nou per a la teoria de conjunts. No obstant, en 1963 Paul Cohen va provar que la negació de l'hipòtesis del continu també és consistent en els axioma ZF, la qual cosa prova que dita hipòtesis és totalment independent dels axioma ZF. És dir, no pot ser refutada o demostrada a partir d'ells, per lo que poden construir-se tant "teories de conjunts cantorianas" (en les que l'hipòtesis del continu és una afirmació certa), com "teories de conjunts no cantorianas" (en les que l'hipòtesis del continu siga falsa). Esta situació és similar a la de les geometria no euclidianas.

Aritmètica de cardinals transfinitos

Per als números transfinitos es poden estendre sense ambigüitat la suma, la multiplicació i la potenciació. Sean per eixemple dos conjunts disjuntos $a=\text{card}(A)$ i $b=\text{card}(B)$, la suma i la multiplicació pot construir-se a partir del cardinal de l'unió i del producte cartesiano d'estos dos conjunts:

$a+b:=\text{card}(A\cup B)a\times b:=\text{card}(A\times B)$

És senzill comprovar que estes operacions estan ben definides ya que:

$\mathrm{\forall }\overline{A},\overline{B}:\{\begin{array}{c}a=\text{card}(\overline{A})\\ b=\text{card}(\overline{B})\\ \overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing \end{array}\to \{\begin{array}{c}\text{card}(\overline{A}\cup \overline{B})=a+b\\ \text{card}(\overline{A}\times \overline{B})=a\cdot b\end{array}$

Encara que la suma i la multiplicació no presenten problemes, la resta i la divisió no estan definides. A diferència de lo que succeïx en els cardinals finitos no poden definir-se sense ambigüitat operacions equivalents a la resta o la divisió. La resta i la divisió poden introduir-se entre els cardinals finitos gràcies a que a partir del conjunt dels cardinals finitos, que coincidixen en els número natural $\mathbb{N}$, poden construir-se el conjunt dels sancers i dels racionals. La construcció dels sancers i els racionals és possible degut a que tot cardinal finito és regular respecte a la suma, és dir, per a qualssevol cardinals a, b i c > 0, finitos es complix:

$\{\begin{array}{cc}a+c=b+c& \Rightarrow a=b\\ a\cdot c=b\cdot c& \Rightarrow a=b\end{array}$

Eixes dos últimes propietats de fet no es complixen mai quan un dels cardinals és transfinito, si $\max (a,b)>{\mathrm{\aleph }}_0$ es tenen les següents igualtats:

$a+b=\max (a,b)a\cdot b:=\max (a,b)$

Els cardinals transfinitos dotats de la suma o la multiplicació constituïxen un monoide conmutativo. Per la falta de regularitat dels cardinals transfinitos no és aplicable la teorema de simetrización d'un monoide que permetria definir la resta i la divisió.

La potenciació requerix construir un conjunt més complicat, pero resulta igualment ben definida. Si A i B són dos conjunts qualssevol i

$a=\text{card}(A)$

i

$b=\text{card}(B)$

es pot definir la exponenciación

$a^b$

com el cardinal del conjunt de funcions de B en A:

$a^b=\text{card}(A^B)A^B:=\{f|f:B\to A\}$

Un cas particular interessant es dona quan a = 2, en este cas podem per eixemple A = {0,1}, i el conjunt A^B es pot identificar naturalment en el conjunt de parts de B o conjunt potència.

$2^b=\text{card}(\{0,1{\}}^B)=\text{card}(𝒫(B))$

La potenciació també té propietats de saturació curioses, aixina per a cardinals de tipo alef es té:

Vore també

• alef-0, alef-1, alef-2
• infinitesimal
• infinit
• Infinit absolut

Referències

• .
• Suppes, Patrick (1960). Axiomatic Set Theory (en anglés), D. Van Nostrand Company.