Teoria ergòdica

Evolució d'un conjunt de sistemes clàssics en l'espai de fases (dalt). Els sistemes són partícules massives en un pou de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunt inicialment compacte s'arremolinar en el temps i es escampa per l'espai de fases. No obstant, este no és un comportament ergòdic, ya que els sistemes no visiten el pou de potencial del costat esquerre

La teoria ergòdica es dedica principalment a l'estudi matemàtic del comportament promig a llarc determini dels sistemes dinàmics.

En matemàtiques, una transformació $T$ que preserva la medida en un espai mesurable es diu que és ergòdica si tot conjunt mesurable que és invariante baix la transformació $T$, té mida 0 o 1.

Un antic terme per a denominar a esta propietat era métricamente transitivo. Existixen dos teoremes fonamentals en la teoria ergòdica, el de Birkhoff i el de von Neumann; es creu que encara que el de Birkhoff es va publicar en anterioritat, el de von Neumann es va demostrar abans. La teorema de von Neumann es referix a convergència en L1, mentres que el de Birkhoff es referix a la convergència puntual.

Aspectes generals

La teoria ergòdica és una branca de les matemàtiques que estudia les propietats estadísticas dels sistemes dinàmics determinista, lo que també es definix com l'estudi de la ergodicidad. En este context, el terme propietats estadístiques es referix a aquelles propietats que s'expressen a través del comportament de la mija mòvil de vàries funcions en trayectòries de sistemes dinàmics. La noció de sistemes dinàmics determinista supon que les equacions que determinen la dinàmica no contenen cap destorbament aleatòria, soroll o factor d'alteració. Per lo tant, la ergodicidad s'ocupa de les estadístiques objecte de les propietats de la dinàmica.

Com teoria de la provabilitat, es basa en nocions generals de la teoria de la mida. El seu desenroll inicial va estar motivat per problemes de mecànica estadística.

Una preocupació central de la teoria ergòdica és el comportament d'un sistema dinàmic quan se li permet funcionar durant un periodo de temps llarc. El primer resultat en esta direcció és el teorema de recurrencia de Poincaré, que afirma que casi tots els punts en qualsevol subconjunt del espai fásico finalment tornen a ser part del conjunt. Els sistemes per als que es complix la teorema de recurrencia de Poincaré són conservativos, i per lo tant, tots els sistemes ergòdics són conservativos.

Vàries teoremes ergòdiques proporcionen informació més precisa que afirma que, baix certes condicions, el promig temporal d'una funció de les trayectòries existix casi en tots els llocs i està relacionat en el promig espacial. Dos de les teoremes més importants són els de Birkhoff (1931) i von Neumann, que afirmen l'existència d'un promig de temps en cada trayectòria. Per a la classe especial de sistemes ergòdics, este promig de temps és el mateix para casi tots els punts inicials: estadísticament parlant, el sistema que evoluciona durant molt temps oblida el seu estat inicial. També s'han estudiat àmpliament propietats més fortes, com el mesclat i la equidistribución.

El problema de la classificació mètrica de sistemes és una atra part important de la teoria ergòdica abstracta. Les diverses nocions de procés estocàstic per a sistemes dinàmics eixerciten un paper destacat en la teoria ergòdica i les seues aplicacions a la entropía.

Els conceptes d'ergodicidad i de la hipòtesis de ergodicidad són fonamentals per a les aplicacions de la teoria ergòdica. L'idea subjacent és que per a certs sistemes el promig temporal de les seues propietats és igual al promig en tot l'espai. Les aplicacions de la teoria ergòdica a atres parts de les matemàtiques solen implicar l'establiment de propietats de ergodicidad per a sistemes de tipo especial. En geometria, s'han utilisat métodos de teoria ergòdica per a estudiar llínees geodèsiques sobre varietats de Riemann, començant en els resultats d'Eberhard Hopf per a la superfície de Riemann de curvatura negativa. Les cadenes de Márkov formen un context comú per a aplicacions en teoria de la provabilitat. La teoria ergòdica té conexions fructíferes en el anàlisis harmònic, la teoria de Lie (en la teoria de representació i en retículs en grups algebraics) i en teoria de números (en la teoria d'aproximació diofántica, o en la funció L).

Transformacions ergòdiques

Artícul principal → Ergodicidad.

Les transformacions ergòdiques són l'objecte de la teoria ergòdica. L'intuïció darrere de tals transformacions és que actuen sobre un conjunt determinat realisant un treball minuciós consistent en remoure els seus elements. Per eixemple, si el conjunt és una cantitat de papilla de avena calenta en un tazón, i si es deixa caure en ell una cullerada d'almibre, llavors les iteraciones de l'inversa d'una transformació ergòdica de la avena no permetran que l'almibre permaneixca en una subregión local del tazón, i ho distribuiran uniformemente en tots els llocs. Al mateix temps, estes iteraciones no comprimiran ni dilataran cap porció de la avena, ya que preserven la mida que és la seua densitat.

La definició formal és la següent:

Siga T : X → X una transformació que preserva la mida sobre un espai de mida (X, Σ, μ), en μ(X) = 1. Llavors T és ergòdic si per a cada I en Σ en μ(T⁻¹(I) Δ I) = 0, ya siga μ(I) = 0 o μ(I) = 1.

L'operador Δ ací és la diferència simètrica de conjunts, equivalent a l'operació disjunció exclusiva sobre la pertinença a conjunts. La condició de que la diferència simètrica siga de mida zero es diu ser essencialment invariante.